← Маршрут ОГЭ
Тема 22 из 72 · Алгебра

Системы с квадратными уравнениями

Линейное + квадратное уравнение, метод подстановки

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Системы с квадратными уравнениями

Смешанная (нелинейная) система — это система, где хотя бы одно уравнение не является линейным: содержит $x^2$, $y^2$, $xy$ или другие степени переменных.

Важно запомнить!

Такая система обычно решается методом подстановки: из линейного уравнения выражается одна переменная и подставляется в квадратное. Решений может быть 0, 1 или 2 (иногда больше — зависит от вида уравнений).

1. Система: линейное + квадратное уравнение

Алгоритм решения:

  1. Из линейного уравнения выразить одну переменную через другую
  2. Подставить это выражение во второе (квадратное) уравнение
  3. Получится квадратное уравнение с одной переменной — решить его (через дискриминант или теорему Виета)
  4. Для каждого найденного корня вычислить вторую переменную
  5. Записать ВСЕ пары решений — их может быть два
Задача 1 (базовый пример)

Решите систему: $\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$

  1. Подставляем $y = x+1$ во второе уравнение: $x^2 + (x+1)^2 = 25$
  2. Раскрываем: $x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25$
  3. $2x^2 + 2x - 24 = 0$, делим на 2: $x^2 + x - 12 = 0$
  4. По теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -12$, $x_1+x_2=-1$, значит $x_1 = 3, x_2 = -4$
  5. Для $x=3$: $y = 3+1 = 4$. Для $x=-4$: $y = -4+1 = -3$

Ответ: $(3; 4)$ и $(-4; -3)$

Задача 2 (произведение переменных)

Решите систему: $\begin{cases} x - y = 3 \\ xy = 10 \end{cases}$

  1. Из первого уравнения: $x = y + 3$
  2. Подставляем во второе: $(y+3)y = 10$
  3. $y^2 + 3y - 10 = 0$
  4. По теореме Виета: $y_1 \cdot y_2 = -10$, $y_1+y_2=-3$, значит $y_1 = 2, y_2 = -5$
  5. Для $y=2$: $x = 2+3=5$. Для $y=-5$: $x=-5+3=-2$

Ответ: $(5; 2)$ и $(-2; -5)$

Задача 3 (один корень, дискриминант равен нулю)

Решите систему: $\begin{cases} y = 2x \\ x^2 - xy + y^2 = 3 \end{cases}$

  1. Подставляем $y=2x$: $x^2 - x(2x) + (2x)^2 = 3$
  2. $x^2 - 2x^2 + 4x^2 = 3 \Rightarrow 3x^2 = 3 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
  3. Для $x=1$: $y=2$. Для $x=-1$: $y=-2$

Ответ: $(1; 2)$ и $(-1; -2)$

2. Системы, симметричные относительно $x$ и $y$

Если оба уравнения не меняются при замене $x$ на $y$ и $y$ на $x$ (симметричная система), удобно ввести новые переменные: сумму $s = x+y$ и произведение $p = xy$.

$$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 2p$$
Задача 4 (метод суммы и произведения)

Решите систему: $\begin{cases} x+y = 5 \\ x^2+y^2 = 13 \end{cases}$

  1. Пусть $s = x+y = 5$
  2. Используем формулу: $x^2+y^2 = s^2 - 2p$, то есть $13 = 25 - 2p$
  3. $2p = 12 \Rightarrow p = xy = 6$
  4. Теперь $x$ и $y$ — корни уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$
  5. По теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = 6$, $t_1+t_2=5$, значит $t_1=2, t_2=3$

Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$

3. Проверка корней (важно!)

Почему нужна проверка

При возведении в квадрат или преобразовании уравнений иногда появляются посторонние корни. Всегда подставляйте найденную пару $(x;y)$ в ОБА исходных уравнения системы, чтобы убедиться, что оба равенства верны.

Задача 5 (с проверкой)

Решите систему и сделайте проверку: $\begin{cases} x+y=4 \\ x^2-y^2=8 \end{cases}$

  1. Разложим второе уравнение: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)=8$
  2. Так как $x+y=4$: $(x-y)\cdot 4 = 8 \Rightarrow x-y=2$
  3. Теперь система линейная: $\begin{cases} x+y=4 \\ x-y=2 \end{cases}$
  4. Складываем: $2x=6 \Rightarrow x=3$, тогда $y=1$
  5. Проверка: $3+1=4$ ✓; $3^2-1^2=9-1=8$ ✓

Ответ: $(3; 1)$

← 21. Системы линейных уравнений