Текстовые задачи: движение, работа

Моторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1. Обозначим неизвестное. Пусть $x$ — собственная скорость лодки (км/ч). Тогда:
   • Скорость по течению: $x + 3$ км/ч
   • Скорость против течения: $x - 3$ км/ч
2. Заполним таблицу. Для каждого этапа пути запишем скорость, время и расстояние:

3. Составим уравнение. По условию, время против течения на 2 часа больше времени по течению: $$\dfrac{105}{x-3} - \dfrac{105}{x+3} = 2$$
4. Решим уравнение. Приводим к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$: $$\dfrac{105(x+3) - 105(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 2$$ $$105(x+3) - 105(x-3) = 2(x-3)(x+3)$$ $$105x + 315 - 105x + 315 = 2(x^2 - 9)$$ $$630 = 2x^2 - 18$$ $$2x^2 = 648$$ $$x^2 = 324$$ $$x = \pm 18$$
5. Проверим корни. Отрицательный корень $x = -18$ не подходит по смыслу задачи (скорость не может быть отрицательной). Значит, $x = 18$.
6. Запишем ответ.

Ответ: 18 км/ч

Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 120 км, скорость первого велосипедиста равна 10 км/ч, скорость второго — 20 км/ч. Сколько километров проехал второй велосипедист до места встречи?

1. Пусть $x$ — расстояние, которое проехал второй велосипедист до встречи
2. Тогда первый проехал $120 - x$ км
3. Время второго: $\dfrac{x}{20}$ ч
4. Время первого (без остановки): $\dfrac{120-x}{10}$ ч
5. С учётом остановки 36 мин = 0,6 ч: $\dfrac{120-x}{10} + 0,6 = \dfrac{x}{20}$
6. Умножаем на 20: $2(120-x) + 12 = x$
7. $240 - 2x + 12 = x$
8. $252 = 3x \Rightarrow x = 84$

Ответ: 84 км

Два автомобиля одновременно отправляются в 420-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 24 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 2 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.

1. Пусть $x$ — скорость второго автомобиля (км/ч)
2. Тогда скорость первого: $x + 24$ км/ч
3. Время второго: $\dfrac{420}{x}$ ч
4. Время первого: $\dfrac{420}{x+24}$ ч
5. Уравнение: $\dfrac{420}{x} - \dfrac{420}{x+24} = 2$
6. $420(x+24) - 420x = 2x(x+24)$
7. $420x + 10080 - 420x = 2x^2 + 48x$
8. $2x^2 + 48x - 10080 = 0$
9. $x^2 + 24x - 5040 = 0$
10. $D = 576 + 20160 = 20736 = 144^2$
11. $x = \dfrac{-24 + 144}{2} = 60$ (отрицательный корень не подходит)
12. Скорость первого: $60 + 24 = 84$ км/ч

Ответ: 84 км/ч

Первый велосипедист выехал из посёлка по шоссе со скоростью 24 км/ч. Через час после него со скоростью 21 км/ч из того же посёлка в том же направлении выехал второй велосипедист, а ещё через час — третий. Найдите скорость третьего велосипедиста, если сначала он догнал второго, а через 9 часов после этого догнал первого.

1. Пусть $x$ — скорость третьего велосипедиста
2. Третий выехал через 2 часа после первого
3. За $t$ часов третий догнал второго: Расстояние, пройденное вторым: $21(t+1)$ (выехал на час раньше) Расстояние, пройденное третьим: $xt$ $xt = 21(t+1)$
4. Через 9 часов после этого догнал первого: Расстояние, пройденное первым: $24(t+9+2) = 24(t+11)$ (выехал на 2 часа раньше третьего) Расстояние, пройденное третьим: $x(t+9)$ $x(t+9) = 24(t+11)$
5. Из первого уравнения: $t = \dfrac{21}{x-21}$
6. Подставляем во второе: $x\left(\dfrac{21}{x-21} + 9\right) = 24\left(\dfrac{21}{x-21} + 11\right)$
7. $x\left(\dfrac{21 + 9x - 189}{x-21}\right) = 24\left(\dfrac{21 + 11x - 231}{x-21}\right)$
8. $x(9x - 168) = 24(11x - 210)$
9. $9x^2 - 168x = 264x - 5040$
10. $9x^2 - 432x + 5040 = 0$
11. $x^2 - 48x + 560 = 0$
12. $D = 2304 - 2240 = 64$
13. $x_1 = \dfrac{48 + 8}{2} = 28$, $x_2 = \dfrac{48 - 8}{2} = 20$
14. $x = 20$ не подходит (скорость должна быть больше 24, чтобы догнать первого)

Ответ: 28 км/ч

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 88 км/ч, а вторую — со скоростью 72 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

1. Пусть весь путь равен $2S$ км
2. Время на первой половине: $\dfrac{S}{88}$ ч
3. Время на второй половине: $\dfrac{S}{72}$ ч
4. Общее время: $\dfrac{S}{88} + \dfrac{S}{72} = S\left(\dfrac{1}{88} + \dfrac{1}{72}\right)$
5. $v_{ср} = \dfrac{2S}{S\left(\dfrac{1}{88} + \dfrac{1}{72}\right)} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{88} + \dfrac{1}{72}}$
6. $v_{ср} = \dfrac{2}{\dfrac{72+88}{88 \cdot 72}} = \dfrac{2 \cdot 88 \cdot 72}{160} = \dfrac{12672}{160} = 79,2$ км/ч

Ответ: 79,2 км/ч

Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 80 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

1. Пусть $x$ — количество деталей, которое делает второй рабочий за час
2. Тогда первый делает $x+6$ деталей в час
3. Время второго: $\dfrac{80}{x}$ ч
4. Время первого: $\dfrac{80}{x+6}$ ч
5. Уравнение: $\dfrac{80}{x} - \dfrac{80}{x+6} = 3$
6. $80(x+6) - 80x = 3x(x+6)$
7. $80x + 480 - 80x = 3x^2 + 18x$
8. $3x^2 + 18x - 480 = 0$
9. $x^2 + 6x - 160 = 0$
10. $D = 36 + 640 = 676 = 26^2$
11. $x = \dfrac{-6 + 26}{2} = 10$ (отрицательный корень не подходит)
12. Первый делает: $10 + 6 = 16$ деталей в час

Ответ: 16 деталей в час

Первая труба пропускает на 5 литров воды в минуту больше, чем вторая. Резервуар объёмом 300 литров она заполняет на 3 минуты быстрее, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба?

1. Пусть $x$ — производительность второй трубы (л/мин)
2. Тогда первая труба: $x+5$ л/мин
3. Время второй: $\dfrac{300}{x}$ мин
4. Время первой: $\dfrac{300}{x+5}$ мин
5. Уравнение: $\dfrac{300}{x} - \dfrac{300}{x+5} = 3$
6. $300(x+5) - 300x = 3x(x+5)$
7. $300x + 1500 - 300x = 3x^2 + 15x$
8. $3x^2 + 15x - 1500 = 0$
9. $x^2 + 5x - 500 = 0$
10. $D = 25 + 2000 = 2025 = 45^2$
11. $x = \dfrac{-5 + 45}{2} = 20$

Ответ: 20 л/мин

Расстояние между пристанями А и В равно 108 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через два часа вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

1. Время движения плота до момента возвращения лодки: $\dfrac{51}{3} = 17$ ч
2. Лодка двигалась на 2 часа меньше: $17 - 2 = 15$ ч
3. Пусть $x$ — скорость лодки в неподвижной воде
4. Скорость по течению: $x+3$; против течения: $x-3$
5. Время по течению (А→В): $\dfrac{108}{x+3}$ ч
6. Время против течения (В→А): $\dfrac{108}{x-3}$ ч
7. Уравнение: $\dfrac{108}{x+3} + \dfrac{108}{x-3} = 15$
8. $108(x-3) + 108(x+3) = 15(x+3)(x-3)$
9. $108x - 324 + 108x + 324 = 15(x^2 - 9)$
10. $216x = 15x^2 - 135$
11. $15x^2 - 216x - 135 = 0$
12. $5x^2 - 72x - 45 = 0$
13. $D = 5184 + 900 = 6084 = 78^2$
14. $x = \dfrac{72 + 78}{10} = 15$

Ответ: 15 км/ч