Текстовые задачи: проценты, смеси, по кругу

Смешали 5 литров 26-процентного раствора вещества с 7 литрами 44-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

1. Масса вещества в первом растворе: $5 \cdot 0,26 = 1,3$ л
2. Масса вещества во втором растворе: $7 \cdot 0,44 = 3,08$ л
3. Общая масса вещества: $1,3 + 3,08 = 4,38$ л
4. Общая масса раствора: $5 + 7 = 12$ л
5. Концентрация: $\dfrac{4,38}{12} = 0,365 = 36,5\%$

Ответ: 36,5%

Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 20% никеля. Сколько килограммов первого сплава было использовано?

1. Пусть $x$ — масса первого сплава (кг)
2. Тогда масса второго сплава: $150 - x$ кг
3. Масса никеля в первом сплаве: $0,05x$
4. Масса никеля во втором сплаве: $0,3(150 - x)$
5. Масса никеля в третьем сплаве: $0,2 \cdot 150 = 30$ кг
6. Уравнение: $0,05x + 0,3(150 - x) = 30$
7. $0,05x + 45 - 0,3x = 30$
8. $-0,25x = -15$
9. $x = 60$

Ответ: 60 кг

Сколько воды нужно выпарить из 200 кг 10-процентного раствора соли, чтобы получить 25-процентный раствор?

1. Масса соли в растворе: $200 \cdot 0,1 = 20$ кг
2. Пусть $x$ — масса воды, которую нужно выпарить
3. Масса нового раствора: $200 - x$ кг
4. Концентрация: $\dfrac{20}{200 - x} = 0,25$
5. $20 = 0,25(200 - x)$
6. $20 = 50 - 0,25x$
7. $0,25x = 30 \Rightarrow x = 120$

Ответ: 120 кг

Сколько граммов воды надо добавить к 50 г 70-процентного раствора кислоты, чтобы получить 10-процентный раствор?

1. Масса кислоты: $50 \cdot 0,7 = 35$ г
2. Пусть $x$ — масса добавляемой воды
3. Масса нового раствора: $50 + x$ г
4. Концентрация: $\dfrac{35}{50 + x} = 0,1$
5. $35 = 0,1(50 + x)$
6. $35 = 5 + 0,1x$
7. $0,1x = 30 \Rightarrow x = 300$

Ответ: 300 г

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 20 минут, когда одному из них оставалось 400 м до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 1 минуту назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.

1. Пусть $v$ — скорость первого бегуна (км/ч)
2. Тогда скорость второго: $v + 2$ км/ч
3. Пусть $L$ — длина круга (км)
4. Первый пробежал за $\dfrac{20}{60} = \dfrac{1}{3}$ ч: $v \cdot \dfrac{1}{3}$ км
5. Ему осталось 400 м = 0,4 км до круга: $L = \dfrac{v}{3} + 0,4$
6. Второй пробежал круг на 1 минуту раньше (т.е. за $\dfrac{19}{60}$ ч): $L = (v+2) \cdot \dfrac{19}{60}$
7. Уравнение: $\dfrac{v}{3} + 0,4 = (v+2) \cdot \dfrac{19}{60}$
8. Умножаем на 60: $20v + 24 = 19(v+2)$
9. $20v + 24 = 19v + 38$
10. $v = 14$

Ответ: 14 км/ч

Два мотоциклиста стартуют одновременно из одной точки круговой трассы в одном направлении. Скорость первого на 15 км/ч больше скорости второго. Через 2 часа первый мотоциклист обогнал второго на один круг. Найдите длину круговой трассы.

1. Пусть $v$ — скорость второго мотоциклиста (км/ч)
2. Тогда скорость первого: $v + 15$ км/ч
3. За 2 часа разница в пройденном пути составила один круг
4. $(v + 15) \cdot 2 - v \cdot 2 = L$
5. $2v + 30 - 2v = L$
6. $L = 30$ км

Ответ: 30 км

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

1. Пусть $x$ — скорость течения (км/ч)
2. Скорость по течению: $22 + x$; против течения: $22 - x$
3. Время движения по течению: $\dfrac{240}{22 + x}$ ч
4. Время движения против течения: $\dfrac{240}{22 - x}$ ч
5. Общее время: $\dfrac{240}{22 + x} + \dfrac{240}{22 - x} + 10 = 32$
6. $\dfrac{240}{22 + x} + \dfrac{240}{22 - x} = 22$
7. $240(22 - x) + 240(22 + x) = 22(22 + x)(22 - x)$
8. $5280 - 240x + 5280 + 240x = 22(484 - x^2)$
9. $10560 = 10648 - 22x^2$
10. $22x^2 = 88 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$

Ответ: 2 км/ч