← Маршрут ОГЭ
Тема 25 из 72 · Геометрия

Углы. Виды. Свойства

Смежные, вертикальные, при параллельных прямых. Задания №15, №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Углы. Виды. Свойства

Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки (вершины угла).

Важно запомнить!

Углы измеряются в градусах. Полный оборот — 360°, развёрнутый угол — 180°, прямой — 90°.

1. Классификация углов по величине

НазваниеГрадусная мераРисунок (схематично)
Острый$0° < \alpha < 90°$$\angle$ меньше прямого
Прямой$\alpha = 90°$$\perp$
Тупой$90° < \alpha < 180°$$\angle$ больше прямого
Развёрнутый$\alpha = 180°$прямая линия
Полный$\alpha = 360°$полный оборот
Пример 1 (определение вида угла)

Определите вид угла: а) 45° б) 90° в) 120° г) 180°

  1. 45° — острый (меньше 90°)
  2. 90° — прямой
  3. 120° — тупой (больше 90°, но меньше 180°)
  4. 180° — развёрнутый

Ответ: а) острый, б) прямой, в) тупой, г) развёрнутый

2. Виды углов по расположению

Смежные углы:

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие образуют прямую.

$$\angle AOB + \angle BOC = 180°$$
Пример 2 (смежные углы)

Один из смежных углов равен 75°. Найдите второй угол.

  1. Смежные углы в сумме дают 180°
  2. Второй угол: $180° - 75° = 105°$

Ответ: 105°

Вертикальные углы:

Два угла, образованные пересекающимися прямыми, стороны одного являются продолжениями сторон другого.

$$\angle 1 = \angle 3, \quad \angle 2 = \angle 4$$
Пример 3 (вертикальные углы)

При пересечении двух прямых один из углов равен 40°. Найдите остальные углы.

  1. Вертикальный ему угол тоже 40°
  2. Смежные с ними: $180° - 40° = 140°$
  3. Получаем: 40°, 140°, 40°, 140°

Ответ: 40°, 140°, 40°, 140°

3. Углы при параллельных прямых и секущей

НазваниеРасположениеСвойство
Накрест лежащие лежат между прямыми по разные стороны от секущей $\angle 1 = \angle 2$
Соответственные лежат по одну сторону от секущей, один между прямыми, другой вне $\angle 1 = \angle 2$
Односторонние лежат между прямыми по одну сторону от секущей $\angle 1 + \angle 2 = 180°$
Пример 4 (накрест лежащие углы)

При пересечении двух параллельных прямых секущей один из накрест лежащих углов равен 55°. Найдите второй накрест лежащий угол.

  1. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны
  2. Второй угол = 55°

Ответ: 55°

Пример 5 (односторонние углы)

При пересечении двух параллельных прямых секущей один из односторонних углов равен 110°. Найдите второй односторонний угол.

  1. Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°
  2. Второй угол: $180° - 110° = 70°$

Ответ: 70°

4. Признаки параллельности прямых

Прямые параллельны, если:

  1. Накрест лежащие углы равны
  2. Соответственные углы равны
  3. Односторонние углы в сумме дают 180°
Пример 6 (признак параллельности)

При пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны 45° и 45°. Будут ли прямые параллельны?

  1. Накрест лежащие углы равны
  2. Это признак параллельности прямых

Ответ: да, прямые параллельны

5. Свойства углов в треугольнике

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180°$$
Пример 7 (сумма углов треугольника)

В треугольнике ABC угол A = 40°, угол B = 60°. Найдите угол C.

  1. Сумма углов треугольника = 180°
  2. $\angle C = 180° - 40° - 60° = 80°$

Ответ: 80°

Пример 8 (внешний угол треугольника)

В треугольнике ABC внешний угол при вершине C равен 120°. Найдите сумму углов A и B.

  1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним
  2. $\angle A + \angle B = 120°$

Ответ: 120°

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 9 (задание №15 ОГЭ)

На рисунке $\angle A = 50°$, $\angle B = 80°$. Найдите внешний угол при вершине C.

  1. $\angle C = 180° - 50° - 80° = 50°$
  2. Внешний угол при C = $180° - 50° = 130°$

Ответ: 130°

Пример 10 (задание №19 ОГЭ)

Какое из утверждений верно? 1) Смежные углы равны. 2) Вертикальные углы равны. 3) Односторонние углы при параллельных прямых равны.

  1. Смежные углы в сумме дают 180° — неверно
  2. Вертикальные углы равны — верно
  3. Односторонние углы при параллельных прямых в сумме дают 180° — неверно

Ответ: 2

7. Сводная таблица свойств углов

Тип угловСвойство
Смежные$\alpha + \beta = 180°$
Вертикальные$\alpha = \beta$
Накрест лежащие (при $\parallel$)$\alpha = \beta$
Соответственные (при $\parallel$)$\alpha = \beta$
Односторонние (при $\parallel$)$\alpha + \beta = 180°$
Углы треугольника$\alpha + \beta + \gamma = 180°$
Внешний угол треугольника$\alpha = \beta + \gamma$ (сумма несмежных)
← 24. Текстовые задачи: проценты, смеси, по к…