Тема 26 из 72 · Геометрия

Треугольники. Признаки равенства

Виды, свойства, три признака равенства. Задания №15, №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Треугольники. Признаки равенства

Треугольник — геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, их соединяющих.

Важно запомнить!

Сумма углов любого треугольника равна 180°. Это основное свойство, которое используется в большинстве задач.

1. Классификация треугольников

По сторонам:

Вид	Определение	Свойства
Равносторонний	Все стороны равны	Все углы по 60°
Равнобедренный	Две стороны равны	Углы при основании равны
Разносторонний	Все стороны разные	Все углы разные

По углам:

Вид	Определение
Остроугольный	Все углы острые (меньше 90°)
Прямоугольный	Один угол равен 90°
Тупоугольный	Один угол тупой (больше 90°)

Пример 1 (определение вида треугольника)

В треугольнике стороны равны 5, 5 и 8. Определите вид треугольника по сторонам и по углам.

По сторонам: две стороны равны (5 и 5) → равнобедренный
Найдём углы: против большей стороны (8) лежит больший угол
Проверим: $5^2 + 5^2 = 50$, $8^2 = 64$, $64 > 50$ → угол тупой
Вид по углам: тупоугольный

Ответ: равнобедренный тупоугольный

2. Свойства равнобедренного треугольника

Углы при основании равны
Биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой
Медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой
Высота, проведённая к основанию, является биссектрисой и медианой

$$\angle A = \angle C$$

Пример 2 (равнобедренный треугольник)

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине B равен 40°. Найдите углы при основании.

Сумма углов треугольника = 180°
$\angle A + \angle C = 180° - 40° = 140°$
Углы при основании равны: $\angle A = \angle C = 140° : 2 = 70°$

Ответ: 70° и 70°

3. Признаки равенства треугольников

Первый признак (СУС): по двум сторонам и углу между ними

$$AB = A_1B_1, \quad AC = A_1C_1, \quad \angle A = \angle A_1 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$

Пример 3 (признак СУС)

Дано: AB = A₁B₁ = 5 см, AC = A₁C₁ = 7 см, ∠A = ∠A₁ = 60°. Докажите, что треугольники равны.

Сторона AB = A₁B₁ (дано)
Сторона AC = A₁C₁ (дано)
∠A = ∠A₁ (дано)
По первому признаку (СУС) треугольники равны

Ответ: треугольники равны по СУС

Второй признак (УСУ): по стороне и двум прилежащим углам

$$AB = A_1B_1, \quad \angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$

Пример 4 (признак УСУ)

Дано: AB = A₁B₁ = 6 см, ∠A = ∠A₁ = 50°, ∠B = ∠B₁ = 70°. Докажите, что треугольники равны.

Сторона AB = A₁B₁ (дано)
∠A = ∠A₁ (дано)
∠B = ∠B₁ (дано)
По второму признаку (УСУ) треугольники равны

Ответ: треугольники равны по УСУ

Третий признак (ССС): по трём сторонам

$$AB = A_1B_1, \quad BC = B_1C_1, \quad AC = A_1C_1 \Rightarrow \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$$

Пример 5 (признак ССС)

Дано: AB = A₁B₁ = 4 см, BC = B₁C₁ = 5 см, AC = A₁C₁ = 6 см. Докажите, что треугольники равны.

AB = A₁B₁ (дано)
BC = B₁C₁ (дано)
AC = A₁C₁ (дано)
По третьему признаку (ССС) треугольники равны

Ответ: треугольники равны по ССС

4. Неравенство треугольника

$$\text{Каждая сторона меньше суммы двух других сторон}$$

Пример 6 (неравенство треугольника)

Существует ли треугольник со сторонами 2, 3 и 6?

Проверяем: $2 + 3 = 5 < 6$
Сумма двух меньших сторон меньше третьей
Треугольник не существует

Ответ: нет, не существует

5. Сравнение сторон и углов

В треугольнике:

Против большей стороны лежит больший угол
Против большего угла лежит большая сторона

Пример 7 (сравнение сторон и углов)

В треугольнике ABC углы: ∠A = 30°, ∠B = 80°, ∠C = 70°. Расположите стороны в порядке возрастания.

Против меньшего угла — меньшая сторона
∠A = 30° (наименьший) → сторона BC наименьшая
∠C = 70° → сторона AB
∠B = 80° (наибольший) → сторона AC наибольшая
Порядок: BC < AB < AC

Ответ: BC, AB, AC

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №15 ОГЭ)

В треугольнике ABC AB = BC, ∠A = 50°. Найдите ∠C.

AB = BC → треугольник равнобедренный с основанием AC
Углы при основании равны: ∠A = ∠C
∠C = 50°

Ответ: 50°

Пример 9 (задание №19 ОГЭ)

Какое из утверждений верно? 1) В равнобедренном треугольнике все углы равны. 2) Если две стороны и угол одного треугольника равны двум сторонам и углу другого, то треугольники равны. 3) Сумма углов треугольника равна 180°.

В равнобедренном только углы при основании равны — неверно
Должен быть угол между этими сторонами (СУС) — неверно
Сумма углов треугольника = 180° — верно

Ответ: 3

7. Сводная таблица признаков равенства

Признак	Название	Что нужно знать
1	СУС	Две стороны и угол между ними
2	УСУ	Сторона и два прилежащих угла
3	ССС	Три стороны

← 25. Углы. Виды. Свойства 27. Прямоугольный треугольник. Тригонометрия →