Тема 27 из 72 · Геометрия

Прямоугольный треугольник. Тригонометрия

Теорема Пифагора, sin/cos/tg. Задания №15, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Прямоугольный треугольник. Тригонометрия

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол равен 90°.

Важно запомнить!

Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны — катеты. Гипотенуза всегда больше любого катета.

1. Теорема Пифагора

$$c^2 = a^2 + b^2$$

где $c$ — гипотенуза, $a$ и $b$ — катеты.

Пример 1 (нахождение гипотенузы)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите гипотенузу.

$c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$c = \sqrt{100} = 10$

Ответ: 10

Пример 2 (нахождение катета)

Гипотенуза равна 13, один катет равен 5. Найдите второй катет.

$13^2 = 5^2 + b^2$
$169 = 25 + b^2$
$b^2 = 144$
$b = 12$

Ответ: 12

2. Пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки — наборы целых чисел, удовлетворяющих теореме Пифагора.

Тройка	Проверка
$(3, 4, 5)$	$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
$(5, 12, 13)$	$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
$(8, 15, 17)$	$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$
$(7, 24, 25)$	$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$
$(6, 8, 10)$	$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$

Совет!

Запомните основные тройки — они часто встречаются в задачах и позволяют не выполнять громоздкие вычисления.

3. Тригонометрические функции острого угла

$$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}$$

Важно!

Синус и косинус всегда меньше 1 (так как катет меньше гипотенузы). Тангенс может быть любым положительным числом.

Пример 3 (нахождение sin, cos, tg)

В прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4. Найдите sin, cos, tg острого угла, противолежащего катету 3.

Гипотенуза: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$
$\sin \alpha = \dfrac{3}{5} = 0,6$
$\cos \alpha = \dfrac{4}{5} = 0,8$
$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{3}{4} = 0,75$

Ответ: $\sin = 0,6$, $\cos = 0,8$, $\operatorname{tg} = 0,75$

4. Таблица значений для стандартных углов

$\alpha$	$\sin \alpha$	$\cos \alpha$	$\operatorname{tg} \alpha$
$30°$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$\sqrt{3}$

Пример 4 (табличные значения)

В прямоугольном треугольнике угол равен 30°, гипотенуза равна 10. Найдите противолежащий катет.

$\sin 30° = \dfrac{1}{2}$
$\sin 30° = \dfrac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{x}{10}$
$x = 5$

Ответ: 5

5. Основные тригонометрические тождества

$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

$$\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$

Пример 5 (основное тождество)

Известно, что $\sin \alpha = 0,6$. Найдите $\cos \alpha$.

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
$0,36 + \cos^2 \alpha = 1$
$\cos^2 \alpha = 0,64$
$\cos \alpha = 0,8$ (угол острый, косинус положителен)

Ответ: 0,8

6. Свойства прямоугольного треугольника

Медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы
Высота, опущенная на гипотенузу: $h = \dfrac{ab}{c}$
Проекции катетов на гипотенузу: $a^2 = c \cdot a_c$, $b^2 = c \cdot b_c$

$$m = \frac{c}{2}$$

Пример 6 (медиана к гипотенузе)

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26. Найдите медиану, проведённую к гипотенузе.

Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы
$m = \dfrac{26}{2} = 13$

Ответ: 13

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 7 (задание №15 ОГЭ)

В треугольнике ABC угол C равен 90°, $\sin B = \dfrac{3}{14}$, AB = 56. Найдите AC.

$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$ (противолежащий катет к гипотенузе)
$\dfrac{3}{14} = \dfrac{AC}{56}$
$AC = \dfrac{3 \cdot 56}{14} = 12$

Ответ: 12

Пример 8 (задание №23 ОГЭ)

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 25 и 65. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Найдём второй катет: $b = \sqrt{65^2 - 25^2} = \sqrt{4225 - 625} = \sqrt{3600} = 60$
Высота к гипотенузе: $h = \dfrac{ab}{c} = \dfrac{25 \cdot 60}{65} = \dfrac{1500}{65} = \dfrac{300}{13} \approx 23,08$

Ответ: $\dfrac{300}{13}$

8. Сводная таблица формул

Что нужно найти	Формула
Гипотенуза	$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
Катет	$a = \sqrt{c^2 - b^2}$
Синус	$\sin \alpha = \dfrac{a}{c}$
Косинус	$\cos \alpha = \dfrac{b}{c}$
Тангенс	$\operatorname{tg} \alpha = \dfrac{a}{b}$
Медиана к гипотенузе	$m = \dfrac{c}{2}$
Высота к гипотенузе	$h = \dfrac{ab}{c}$

← 26. Треугольники. Признаки равенства 28. Площадь треугольника. Теорема синусов и… →