← Маршрут ОГЭ

Тема 28 из 72 · Геометрия

Площадь треугольника. Теорема синусов и косинусов

Формулы площади, решение произвольного треугольника. Задания №15, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Площадь треугольника. Теорема синусов и косинусов

Площадь треугольника можно найти разными способами в зависимости от того, какие элементы известны.

Важно запомнить!

Выбор формулы зависит от того, что дано в условии: основание и высота, две стороны и угол, или три стороны.

1. Формулы площади треугольника

Через основание и высоту:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

где $a$ — сторона, $h_a$ — высота, проведённая к этой стороне.

Пример 1 (площадь через основание и высоту)

Сторона треугольника равна 17, а высота, проведённая к этой стороне, равна 14. Найдите площадь треугольника.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot 14$
$S = \dfrac{238}{2} = 119$

Ответ: 119

Через две стороны и угол между ними:

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$

где $a$ и $b$ — стороны, $\gamma$ — угол между ними.

Пример 2 (площадь через две стороны и угол)

В треугольнике ABC AB = 12, BC = 20, sin∠ABC = 5/8. Найдите площадь треугольника.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \dfrac{5}{8}$
$S = 120 \cdot \dfrac{5}{8} = 75$

Ответ: 75

Формула Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Пример 3 (формула Герона)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найдите площадь.

$p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$
$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}$
$S = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$
$S = \sqrt{7056} = 84$

Ответ: 84

2. Теорема косинусов

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \gamma$$

где $c$ — сторона, лежащая против угла $\gamma$.

Важно!

При $\gamma = 90°$: $\cos 90° = 0$, и теорема косинусов превращается в теорему Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$.

Пример 4 (теорема косинусов)

В треугольнике две стороны равны 5 и 7, угол между ними равен 60°. Найдите третью сторону.

$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60°$
$\cos 60° = \dfrac{1}{2}$
$c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \dfrac{1}{2}$
$c^2 = 74 - 35 = 39$
$c = \sqrt{39}$

Ответ: $\sqrt{39}$

Пример 5 (нахождение угла)

Стороны треугольника равны 3, 5, 7. Найдите угол, противолежащий стороне 7.

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos \gamma$
$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos \gamma$
$49 = 34 - 30 \cdot \cos \gamma$
$15 = -30 \cdot \cos \gamma$
$\cos \gamma = -\dfrac{1}{2}$
$\gamma = 120°$

Ответ: 120°

3. Теорема синусов

$$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$

где $R$ — радиус описанной окружности.

Пример 6 (теорема синусов)

В треугольнике сторона AB = 6, угол C = 30°. Найдите радиус описанной окружности.

По теореме синусов: $\dfrac{AB}{\sin C} = 2R$
$\dfrac{6}{\sin 30°} = 2R$
$\dfrac{6}{1/2} = 2R$
$12 = 2R \Rightarrow R = 6$

Ответ: 6

Пример 7 (нахождение стороны)

В треугольнике угол A = 45°, угол B = 60°, сторона BC = 12√6. Найдите AC.

По теореме синусов: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$
$\dfrac{12\sqrt{6}}{\sin 45°} = \dfrac{AC}{\sin 60°}$
$\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\dfrac{12\sqrt{6}}{\sqrt{2}/2} = \dfrac{AC}{\sqrt{3}/2}$
$12\sqrt{6} \cdot \dfrac{2}{\sqrt{2}} = AC \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
$12\sqrt{3} \cdot 2 = AC \cdot \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
$AC = 12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 36$

Ответ: 36

4. Сравнение формул площади

Что известно	Формула	Когда использовать
Основание и высота	$S = \dfrac{ah}{2}$	Есть высота
Две стороны и угол	$S = \dfrac{ab\sin\gamma}{2}$	Известен угол между сторонами
Три стороны	$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$	Известны все стороны

5. Связь с радиусом описанной окружности

$$S = \frac{abc}{4R}$$

Пример 8 (площадь через R)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Радиус описанной окружности равен 65/8. Найдите площадь.

$S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot \frac{65}{8}}$
$S = \dfrac{2730}{\frac{260}{8}} = 2730 \cdot \dfrac{8}{260} = 84$

Ответ: 84

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 9 (задание №15 ОГЭ)

Сторона треугольника равна 15, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь треугольника.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 22 = 165$

Ответ: 165

Пример 10 (задание №23 ОГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 9, AC = 8. Найдите cos∠ABC.

По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$
$64 = 25 + 81 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cos \angle ABC$
$64 = 106 - 90 \cdot \cos \angle ABC$
$90 \cdot \cos \angle ABC = 42$
$\cos \angle ABC = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$

Ответ: $\dfrac{7}{15}$

← 27. Прямоугольный треугольник. Тригонометрия 29. Окружность. Центральные и вписанные углы →