← Маршрут ОГЭ
Тема 29 из 72 · Геометрия

Окружность. Центральные и вписанные углы

Угол и дуга, хорды, касательные. Задания №16, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Окружность. Центральные и вписанные углы

Окружность — множество точек, равноудалённых от данной точки (центра).

Важно запомнить!

Радиус — расстояние от центра до любой точки окружности. Диаметр — наибольшая хорда, проходящая через центр.

1. Основные элементы окружности

ЭлементОпределениеОбозначение
Радиус Отрезок, соединяющий центр с точкой на окружности $R$
Диаметр Хорда, проходящая через центр $D = 2R$
Хорда Отрезок, соединяющий две точки на окружности $AB$
Дуга Часть окружности между двумя точками $\smile AB$
Касательная Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку $l$

2. Центральный угол

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.

$$\angle AOB = \smile AB$$

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Пример 1 (центральный угол)

Центральный угол AOB равен 70°. Найдите градусную меру дуги AB.

  1. Центральный угол равен дуге, на которую опирается
  2. $\smile AB = \angle AOB = 70°$

Ответ: 70°

3. Вписанный угол

Вписанный угол — угол с вершиной на окружности, стороны которого пересекают окружность.

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \smile AB$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Пример 2 (вписанный угол)

Вписанный угол ABC опирается на дугу AC, равную 80°. Найдите угол ABC.

  1. Вписанный угол равен половине дуги
  2. $\angle ABC = \dfrac{80°}{2} = 40°$

Ответ: 40°

4. Связь центрального и вписанного углов

$$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$$
Пример 3 (связь углов)

Центральный угол AOB равен 100°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу AB.

  1. Вписанный угол равен половине центрального
  2. $\angle ACB = \dfrac{100°}{2} = 50°$

Ответ: 50°

5. Свойства вписанных углов

  • Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
  • Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
Пример 4 (вписанные углы на одну дугу)

На окружности отмечены точки A, B, C, D так, что ∠ABC = 35°. Найдите ∠ADC, если точки C и D лежат по одну сторону от хорды AB.

  1. ∠ABC и ∠ADC опираются на одну дугу AC
  2. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны
  3. ∠ADC = ∠ABC = 35°

Ответ: 35°

Пример 5 (угол на диаметр)

Точки A, B, C лежат на окружности. Отрезок AC является диаметром. ∠ABC = ?

  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
  2. ∠ABC = 90°

Ответ: 90°

6. Касательная к окружности

$$\text{Радиус } \perp \text{ касательной в точке касания}$$
Пример 6 (касательная)

К окружности с центром O проведена касательная AB (B — точка касания). Найдите ∠ABO.

  1. Радиус OB перпендикулярен касательной AB
  2. ∠ABO = 90°

Ответ: 90°

7. Угол между касательной и хордой

$$\angle \text{между касательной и хордой} = \frac{1}{2} \smile AB$$
Пример 7 (угол между касательной и хордой)

К окружности проведена касательная в точке A. Хорда AB образует с касательной угол 40°. Найдите дугу AB.

  1. Угол между касательной и хордой равен половине дуги
  2. $\dfrac{\smile AB}{2} = 40°$
  3. $\smile AB = 80°$

Ответ: 80°

8. Длина окружности и площадь круга

$$C = 2\pi R$$
$$S = \pi R^2$$
Пример 8 (длина окружности)

Радиус окружности равен 5. Найдите длину окружности.

  1. $C = 2\pi \cdot 5 = 10\pi$

Ответ: $10\pi$

9. Типичные задания из ОГЭ

Пример 9 (задание №16 ОГЭ)

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 21°. Длина меньшей дуги AB равна 35. Найдите длину большей дуги AB.

  1. ∠AOB = 21° — центральный угол
  2. Полная окружность = 360°
  3. Большая дуга = 360° - 21° = 339°
  4. Длина большей дуги: $\dfrac{339}{21} \cdot 35 = 565$

Ответ: 565

Пример 10 (задание №23 ОГЭ)

В окружности с центром в точке O отрезки AC и BD — диаметры. Угол AOD равен 38°. Найдите угол ACB.

  1. ∠AOD = 38° — центральный
  2. ∠AOB = 180° - 38° = 142° (смежный)
  3. ∠ACB — вписанный, опирается на дугу AB
  4. ∠ACB = $\dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{142°}{2} = 71°$

Ответ: 71°

10. Сводная таблица углов в окружности

Тип углаВершинаСвязь с дугой
ЦентральныйЦентр окружности$\angle = \smile$
ВписанныйНа окружности$\angle = \dfrac{1}{2}\smile$
Касательная и хордаНа окружности$\angle = \dfrac{1}{2}\smile$
Две хорды (внутри)Внутри окружности$\angle = \dfrac{1}{2}(\smile_1 + \smile_2)$
Две секущие (вне)Вне окружности$\angle = \dfrac{1}{2}(\smile_1 - \smile_2)$
← 28. Площадь треугольника. Теорема синусов и…