Тема 30 из 72 · Геометрия

Вписанные и описанные окружности

Радиусы r и R, свойства. Задания №16, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Вписанные и описанные окружности

Вписанная окружность — окружность, касающаяся всех сторон многоугольника.

Описанная окружность — окружность, проходящая через все вершины многоугольника.

Важно запомнить!

В любой треугольник можно вписать окружность и описать окружность. В четырёхугольник это возможно только при определённых условиях.

1. Вписанная окружность треугольника

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.

$$S = r \cdot p$$

где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Пример 1 (радиус вписанной окружности)

Площадь треугольника равна 84, полупериметр равен 21. Найдите радиус вписанной окружности.

$S = r \cdot p$
$84 = r \cdot 21$
$r = \dfrac{84}{21} = 4$

Ответ: 4

Пример 2 (вписанная окружность прямоугольного треугольника)

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите радиус вписанной окружности.

Гипотенуза: $c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$
$r = \dfrac{a+b-c}{2} = \dfrac{6+8-10}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

2. Описанная окружность треугольника

Центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

$$R = \frac{abc}{4S}$$

Пример 3 (радиус описанной окружности)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15, площадь равна 84. Найдите радиус описанной окружности.

$R = \dfrac{abc}{4S} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot 84}$
$R = \dfrac{2730}{336} = \dfrac{65}{8} = 8,125$

Ответ: $\dfrac{65}{8}$

Пример 4 (описанная окружность прямоугольного треугольника)

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите радиус описанной окружности.

Гипотенуза: $c = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29$
$R = \dfrac{c}{2} = \dfrac{29}{2} = 14,5$

Ответ: 14,5

3. Вписанные четырёхугольники

Четырёхугольник можно вписать в окружность (около него можно описать окружность), если:

$$\angle A + \angle C = 180°$$

$$\angle B + \angle D = 180°$$

Пример 5 (вписанный четырёхугольник)

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. ∠ABC = 94°, ∠CAD = 57°. Найдите ∠ABD.

∠ABC = 94° — вписанный, опирается на дугу ADC
∠CAD = 57° — вписанный, опирается на дугу CD
∠ABD — вписанный, опирается на дугу AD
Дуга ADC = 2 · 94° = 188°
Дуга CD = 2 · 57° = 114°
Дуга AD = 188° - 114° = 74°
∠ABD = 74° : 2 = 37°

Ответ: 37°

4. Описанные четырёхугольники

Четырёхугольник можно описать около окружности (в него можно вписать окружность), если:

$$AB + CD = BC + AD$$

суммы противоположных сторон равны.

Пример 6 (описанный четырёхугольник)

В четырёхугольник ABCD вписана окружность. AB = 5, BC = 7, CD = 8. Найдите AD.

Для описанного четырёхугольника: $AB + CD = BC + AD$
$5 + 8 = 7 + AD$
$13 = 7 + AD$
$AD = 6$

Ответ: 6

5. Равносторонний треугольник

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}, \quad R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad R = 2r$$

Пример 7 (равносторонний треугольник)

Сторона равностороннего треугольника равна $6\sqrt{3}$. Найдите радиус описанной окружности.

$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{3} = \dfrac{6 \cdot 3}{3} = 6$

Ответ: 6

6. Таблица формул для треугольников

Треугольник	$r$ (вписанная)	$R$ (описанная)
Произвольный	$r = \dfrac{S}{p}$	$R = \dfrac{abc}{4S}$
Прямоугольный	$r = \dfrac{a+b-c}{2}$	$R = \dfrac{c}{2}$
Равносторонний	$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$	$R = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №16 ОГЭ)

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 54. Найдите высоту этой трапеции.

В трапеции, в которую вписана окружность, высота равна диаметру вписанной окружности
$h = 2r = 2 \cdot 54 = 108$

Ответ: 108

Пример 9 (задание №23 ОГЭ)

В треугольнике ABC угол C равен 90°, M — середина стороны AB, AB = 26, AC = 24. Найдите CM.

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы
$CM = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$

Ответ: 13

8. Свойства вписанной и описанной окружностей

Окружность	Центр	Радиус
Вписанная ($r$)	Пересечение биссектрис	$r = \dfrac{S}{p}$
Описанная ($R$)	Пересечение серединных перпендикуляров	$R = \dfrac{abc}{4S}$

← 29. Окружность. Центральные и вписанные углы 31. Хорды, касательные, секущие →