← Маршрут ОГЭ
Тема 31 из 72 · Геометрия

Хорды, касательные, секущие

Свойства и теоремы. Задания №16, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Хорды, касательные, секущие

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Касательная — прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках.

Важно запомнить!

Касательная всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Это свойство — ключ к решению многих задач.

1. Свойства хорд

Свойство 1: Равные хорды

Равные хорды находятся на равном расстоянии от центра окружности.

Свойство 2: Перпендикуляр из центра

Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам.

Пример 1 (перпендикуляр к хорде)

В окружности с центром O проведена хорда AB длиной 16. Расстояние от центра до хорды равно 6. Найдите радиус окружности.

  1. Перпендикуляр из центра делит хорду пополам: $AM = MB = 8$
  2. Треугольник OMA — прямоугольный
  3. $R^2 = OM^2 + AM^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
  4. $R = 10$

Ответ: 10

Свойство 3: Пересекающиеся хорды

Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то:

$$AP \cdot PB = CP \cdot PD$$
Пример 2 (пересекающиеся хорды)

Хорды AB и CD пересекаются в точке P. AP = 3, PB = 4, CP = 2. Найдите PD.

  1. $AP \cdot PB = CP \cdot PD$
  2. $3 \cdot 4 = 2 \cdot PD$
  3. $12 = 2 \cdot PD$
  4. $PD = 6$

Ответ: 6

2. Касательная к окружности

Свойство 1: Касательная и радиус

$$\text{Радиус } \perp \text{ касательной в точке касания}$$

Свойство 2: Отрезки касательных

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.

$$AB = AC$$
Пример 3 (отрезки касательных)

Из точки A к окружности проведены две касательные AB и AC (B и C — точки касания). AB = 7. Найдите AC.

  1. Отрезки касательных из одной точки равны
  2. $AC = AB = 7$

Ответ: 7

3. Касательная и секущая

Если из одной точки проведены касательная и секущая, то:

$$PT^2 = PA \cdot PB$$

где $PT$ — касательная, $PB$ — секущая, $PA$ — внешняя часть секущей.

Пример 4 (касательная и секущая)

Из точки A к окружности проведены касательная AT = 8 и секущая, пересекающая окружность в точках B и C. AB = 4. Найдите AC.

  1. $AT^2 = AB \cdot AC$
  2. $8^2 = 4 \cdot AC$
  3. $64 = 4 \cdot AC$
  4. $AC = 16$

Ответ: 16

4. Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.

$$\angle \text{между касательной и хордой} = \frac{1}{2} \smile AB$$
Пример 5 (угол между касательной и хордой)

К окружности проведена касательная в точке A. Хорда AB образует с касательной угол 35°. Найдите дугу AB.

  1. Угол между касательной и хордой равен половине дуги
  2. $\dfrac{\smile AB}{2} = 35°$
  3. $\smile AB = 70°$

Ответ: 70°

5. Свойства секущих

Если из одной точки проведены две секущие, то:

$$PA \cdot PB = PC \cdot PD$$
Пример 6 (секущие)

Из точки A проведены две секущие: первая пересекает окружность в точках B и C, вторая — в точках D и E. AB = 3, AC = 12, AD = 4. Найдите AE.

  1. $AB \cdot AC = AD \cdot AE$
  2. $3 \cdot 12 = 4 \cdot AE$
  3. $36 = 4 \cdot AE$
  4. $AE = 9$

Ответ: 9

6. Сводная таблица свойств

ЭлементыСвойство
Пересекающиеся хорды $AP \cdot PB = CP \cdot PD$
Касательная и секущая $PT^2 = PA \cdot PB$
Две секущие $PA \cdot PB = PC \cdot PD$
Касательные из одной точки $AB = AC$
Касательная и радиус $\text{перпендикулярны}$
Угол между касательной и хордой $\angle = \dfrac{1}{2}\smile$

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 7 (задание №16 ОГЭ)

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках B и C, причём AB = 2,5, AC = 10. Найдите AK.

  1. $AK^2 = AB \cdot AC$ (касательная и секущая)
  2. $AK^2 = 2,5 \cdot 10 = 25$
  3. $AK = 5$

Ответ: 5

Пример 8 (задание №23 ОГЭ)

Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды AB, если AB = 10, CD = 18, а расстояние от центра окружности до хорды CD равно 13.

  1. Найдём радиус через хорду CD: $R^2 = 13^2 + 9^2 = 169 + 81 = 250$
  2. $R = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$
  3. Для хорды AB: $\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 + d^2 = R^2$
  4. $5^2 + d^2 = 250$
  5. $d^2 = 225 \Rightarrow d = 15$

Ответ: 15

← 30. Вписанные и описанные окружности