Тема 32 из 72 · Геометрия

Подобие треугольников

Признаки подобия, пропорции. Задания №23, №25

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Подобие треугольников

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого.

Важно запомнить!

Подобие — это ключевой инструмент для решения сложных геометрических задач №23 и №25. Если в задаче есть параллельные прямые или общие углы — ищите подобные треугольники!

1. Определение подобия

Если $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$, то:

$$\angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1, \quad \angle C = \angle C_1$$

$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$$

где $k$ — коэффициент подобия.

Важно!

Сходственные стороны — это стороны, лежащие против равных углов.

2. Признаки подобия треугольников

Первый признак (УУ): по двум углам

$$\angle A = \angle A_1, \quad \angle B = \angle B_1 \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

Второй признак (СУС): по двум сторонам и углу между ними

$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{AC}{A_1C_1}, \quad \angle A = \angle A_1 \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

Третий признак (ССС): по трём сторонам

$$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} \Rightarrow \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$$

Пример 1 (признак УУ)

В треугольниках ABC и A₁B₁C₁: ∠A = ∠A₁ = 40°, ∠B = ∠B₁ = 60°. Подобны ли треугольники?

Углы треугольников: ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁
По первому признаку (УУ) треугольники подобны

Ответ: да, подобны

3. Свойства подобных треугольников

$$\frac{P_1}{P_2} = k$$

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

Пример 2 (отношение периметров)

Треугольники подобны с коэффициентом k = 2. Периметр первого треугольника равен 30. Найдите периметр второго.

$\dfrac{P_1}{P_2} = k$
$\dfrac{30}{P_2} = 2$
$P_2 = 15$

Ответ: 15

Пример 3 (отношение площадей)

Площадь одного треугольника в 4 раза больше площади другого. Найдите коэффициент подобия.

$\dfrac{S_1}{S_2} = k^2$
$4 = k^2$
$k = 2$

Ответ: 2

4. Подобие в прямоугольном треугольнике

Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, делит треугольник на два треугольника, подобных исходному.

$$\triangle AHB \sim \triangle CHB \sim \triangle ABC$$

$$h^2 = AH \cdot CH$$

Пример 4 (высота к гипотенузе)

В прямоугольном треугольнике ABC высота CH, опущенная на гипотенузу AB, делит её на отрезки AH = 4 и BH = 9. Найдите CH.

$CH^2 = AH \cdot BH$
$CH^2 = 4 \cdot 9 = 36$
$CH = 6$

Ответ: 6

5. Подобие и средняя линия

Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине.

$$MN = \frac{1}{2}AC$$

Пример 5 (средняя линия)

Точки M и N — середины сторон AB и BC треугольника ABC. AC = 52. Найдите MN.

MN — средняя линия треугольника ABC
$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{52}{2} = 26$

Ответ: 26

6. Применение подобия в задачах

Пример 6 (задание №23 ОГЭ)

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. MN = 16, AC = 20, NC = 15. Найдите BN.

△BMN ∼ △BAC (по двум углам)
$\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BN}{BC}$
$\dfrac{16}{20} = \dfrac{BN}{BN + 15}$
$\dfrac{4}{5} = \dfrac{BN}{BN + 15}$
$5BN = 4BN + 60$
$BN = 60$

Ответ: 60

Пример 7 (задание №25 ОГЭ)

В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 26 и 11, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB = 12.

∠A + ∠D = 90° (по условию)
Продолжим боковые стороны до пересечения в точке E
В треугольнике AED: ∠E = 180° - (∠A + ∠D) = 90°
△AED ∼ △BEC (по двум углам)
$\dfrac{AE}{BE} = \dfrac{AD}{BC} = \dfrac{26}{11}$
AE - BE = AB = 12
Решая систему, находим AE = 26, BE = 14
ED = 13, EC = 5,5
Радиус описанной окружности около △ABE: $R = \dfrac{AB}{2\sin\angle AEB}$
$R = \dfrac{12}{2\sin 90°} = 6$

Ответ: 6

7. Сводная таблица признаков подобия

Признак	Название	Что нужно знать
1	УУ	Два угла
2	СУС	Две стороны пропорциональны, угол между ними равен
3	ССС	Три стороны пропорциональны

← 31. Хорды, касательные, секущие 33. Параллелограмм. Ромб →