Параллелограмм. Ромб

Свойства, признаки, площадь. Задания №17, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Важно запомнить!

Параллелограмм — одна из самых важных фигур в геометрии. Его свойства нужно знать наизусть для заданий №17 и №23.

1. Свойства параллелограмма

Свойство	Формула
Противоположные стороны равны	$AB = CD$, $BC = AD$
Противоположные стороны параллельны	$AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$
Противоположные углы равны	$\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$
Сумма соседних углов = $180°$	$\angle A + \angle B = 180°$
Диагонали делятся пополам	$AO = OC$, $BO = OD$

Пример 1 (свойства параллелограмма)

В параллелограмме ABCD ∠A = 50°. Найдите ∠C и ∠B.

Противоположные углы равны: ∠C = ∠A = 50°
Сумма соседних углов = 180°: ∠B = 180° - 50° = 130°

Ответ: ∠C = 50°, ∠B = 130°

2. Площадь параллелограмма

$$S = a \cdot h_a$$

где $a$ — сторона, $h_a$ — высота, проведённая к этой стороне.

$$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$

где $a$ и $b$ — соседние стороны, $\alpha$ — угол между ними.

Пример 2 (площадь через сторону и высоту)

Сторона параллелограмма равна 6, а высота, проведённая к ней, равна 4. Найдите площадь.

$S = a \cdot h = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24

Пример 3 (площадь через стороны и угол)

Стороны параллелограмма равны 8 и 10, угол между ними равен 30°. Найдите площадь.

$S = a \cdot b \cdot \sin \alpha = 8 \cdot 10 \cdot \sin 30°$
$S = 80 \cdot \dfrac{1}{2} = 40$

Ответ: 40

3. Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом, если:

Противоположные стороны попарно равны
Противоположные стороны попарно параллельны
Две стороны равны и параллельны
Противоположные углы равны
Диагонали делятся пополам точкой пересечения

4. Ромб

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

Все стороны равны: $AB = BC = CD = DA$
Диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$
Диагонали являются биссектрисами углов
Наследует все свойства параллелограмма

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

Пример 4 (площадь ромба)

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите его площадь.

$S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$

Ответ: 24

Важно!

Диагонали ромба перпендикулярны, но НЕ равны между собой (равны диагонали у прямоугольника). У ромба равны стороны, а не диагонали.

5. Сравнение параллелограмма, ромба, прямоугольника

Фигура	Свойства
Параллелограмм	Противоположные стороны параллельны и равны
Ромб	Все стороны равны, диагонали перпендикулярны
Прямоугольник	Все углы прямые, диагонали равны
Квадрат	Все стороны равны, все углы прямые

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 5 (задание №17 ОГЭ)

В ромбе ABCD угол ABC равен 124°. Найдите угол ACD.

В ромбе ∠ABC = ∠ADC = 124° (противоположные углы)
∠BCD = 180° - 124° = 56° (соседние углы)
Диагонали ромба — биссектрисы углов
∠ACD = ∠BCD : 2 = 56° : 2 = 28°

Ответ: 28°

Пример 6 (задание №23 ОГЭ)

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 17, 12 и 8. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Расстояние от O до AD = 12 — высота параллелограмма
Расстояние от O до AC = 8 — радиус вписанной окружности в △ABC
В △ABC: $r = \dfrac{S_{\triangle ABC}}{p}$
$S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot h$
После вычислений получаем $S_{ABCD} = 288$

Ответ: 288

7. Сводная таблица формул

Фигура	Площадь	Особые свойства
Параллелограмм	$S = ah = ab\sin\alpha$	Диагонали делятся пополам
Ромб	$S = \dfrac{d_1d_2}{2}$	Диагонали перпендикулярны
Прямоугольник	$S = ab$	Диагонали равны
Квадрат	$S = a^2$	Все свойства ромба и прямоугольника

← 32. Подобие треугольников 34. Прямоугольник. Квадрат. Трапеция →