← Маршрут ОГЭ
Тема 34 из 72 · Геометрия

Прямоугольник. Квадрат. Трапеция

Свойства и площади. Задания №17, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Прямоугольник. Квадрат. Трапеция

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — нет.

Важно запомнить!

Прямоугольник и квадрат — это частные случаи параллелограмма. Трапеция — отдельная фигура, у которой только одна пара параллельных сторон.

1. Прямоугольник

Свойства прямоугольника:

  • Все углы равны 90°
  • Противоположные стороны равны
  • Диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам
$$S = a \cdot b$$
$$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$
Пример 1 (площадь и диагональ прямоугольника)

Стороны прямоугольника равны 6 и 8. Найдите площадь и диагональ.

  1. $S = 6 \cdot 8 = 48$
  2. $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$

Ответ: $S = 48$, $d = 10$

Пример 2 (диагональ и угол)

Диагональ прямоугольника образует угол 68° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями.

  1. Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам
  2. Треугольник, образованный половинами диагоналей, равнобедренный
  3. Угол между диагоналями: $180° - 2 \cdot 68° = 44°$
  4. Острый угол между диагоналями = 44°

Ответ: 44°

2. Квадрат

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата:

  • Все стороны равны
  • Все углы прямые
  • Диагонали равны, перпендикулярны и делят углы пополам
$$S = a^2$$
$$d = a\sqrt{2}$$
Пример 3 (площадь и диагональ квадрата)

Сторона квадрата равна 5. Найдите площадь и диагональ.

  1. $S = 5^2 = 25$
  2. $d = 5\sqrt{2}$

Ответ: $S = 25$, $d = 5\sqrt{2}$

Пример 4 (диагональ квадрата)

Диагональ квадрата равна $12\sqrt{2}$. Найдите сторону.

  1. $d = a\sqrt{2}$
  2. $12\sqrt{2} = a\sqrt{2}$
  3. $a = 12$

Ответ: 12

3. Трапеция

Трапеция — четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие — нет (боковые стороны).

Средняя линия трапеции:

$$l = \frac{a + b}{2}$$

Площадь трапеции:

$$S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$
Пример 5 (площадь трапеции)

Основания трапеции равны 5 и 11, высота равна 4. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{(5 + 11) \cdot 4}{2} = \dfrac{16 \cdot 4}{2} = 32$

Ответ: 32

Пример 6 (средняя линия трапеции)

Основания трапеции равны 13 и 23. Найдите среднюю линию.

  1. $l = \dfrac{13 + 23}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$

Ответ: 18

4. Равнобедренная трапеция

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны.

Свойства:

  • Боковые стороны равны
  • Диагонали равны
  • Углы при каждом основании равны
Пример 7 (равнобедренная трапеция)

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 4, диагональ образует с основанием угол 45°. Найдите высоту.

  1. Опустим высоты из вершин меньшего основания
  2. Разность оснований: $4 - 3 = 1$
  3. Катет прямоугольного треугольника: $\dfrac{1}{2} = 0,5$
  4. В равнобедренной трапеции: $\operatorname{tg}45° = \dfrac{h}{0,5}$
  5. $1 = \dfrac{h}{0,5} \Rightarrow h = 0,5$

Ответ: 0,5

5. Сравнение четырёхугольников

ФигураСтороныУглыДиагонали
Прямоугольник Противоположные равны Все 90° Равны
Квадрат Все равны Все 90° Равны, перпендикулярны
Равнобедренная трапеция Боковые равны Углы при основаниях равны Равны

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 8 (задание №17 ОГЭ)

Диагональ прямоугольника образует угол 28° с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями.

  1. В прямоугольном треугольнике угол между диагональю и стороной = 28°
  2. Угол между диагоналями: $180° - 2 \cdot 28° = 124°$
  3. Острый угол = $180° - 124° = 56°$

Ответ: 56°

Пример 9 (задание №23 ОГЭ)

В трапеции ABCD известно, что AB = CD, ∠BDA = 14° и ∠BDC = 106°. Найдите угол ABD.

  1. AB = CD — трапеция равнобедренная
  2. ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 14° + 106° = 120°
  3. В равнобедренной трапеции: ∠A = ∠D = 120°
  4. ∠ABD = 180° - 120° - 14° = 46°

Ответ: 46°

← 33. Параллелограмм. Ромб