← Маршрут ОГЭ
Тема 35 из 72 · Геометрия

Площади многоугольников

Сводная таблица формул площадей. Задания №17, №23

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Сводная таблица формул площадей

Формулы площадей — это база для решения геометрических задач №17 и №23. Их нужно знать наизусть и уметь быстро выбирать нужную.

Важно запомнить!

Правильный выбор формулы — это половина успеха. Определите, какие элементы фигуры даны в условии, и выбирайте соответствующую формулу.

1. Формулы площадей фигур

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Треугольник △ $S = \dfrac{ah}{2}$ $a$ — сторона, $h$ — высота
Треугольник △ $S = \dfrac{ab\sin\gamma}{2}$ $a,b$ — стороны, $\gamma$ — угол между ними
Треугольник △ $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ $p$ — полупериметр
Параллелограмм ▱ $S = ah = ab\sin\alpha$ $a$ — сторона, $h$ — высота, $\alpha$ — угол
Ромб ◇ $S = \dfrac{d_1d_2}{2}$ $d_1, d_2$ — диагонали
Прямоугольник ▭ $S = ab$ $a,b$ — стороны
Квадрат □ $S = a^2$ $a$ — сторона
Трапеция ⏢ $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$ $a,b$ — основания, $h$ — высота
Круг ○ $S = \pi R^2$ $R$ — радиус
Сектор ⌔ $S = \dfrac{\pi R^2 \alpha}{360°}$ $R$ — радиус, $\alpha$ — угол
Совет!

При решении задач сначала определите фигуру, затем выберите формулу, которая использует данные из условия.

2. Связь площадей в фигурах

Медиана треугольника:

Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.

$$S_{\triangle ABM} = S_{\triangle CBM}$$

Диагональ параллелограмма:

Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.

$$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle CDA}$$

Средняя линия треугольника:

Средняя линия отсекает треугольник, площадь которого в 4 раза меньше площади исходного.

$$S_{\triangle AMN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$$

Подобные фигуры:

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$
Пример 1 (медиана треугольника)

В треугольнике ABC проведена медиана BM. Площадь треугольника ABC равна 100. Найдите площадь треугольника ABM.

  1. Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника
  2. $S_{\triangle ABM} = \dfrac{1}{2} \cdot 100 = 50$

Ответ: 50

Пример 2 (диагональ параллелограмма)

Площадь параллелограмма ABCD равна 104. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь трапеции DAEC.

  1. Диагональ AC делит параллелограмм на два равных треугольника
  2. $S_{\triangle ABC} = 52$
  3. CE — медиана в △ABC, $S_{\triangle ACE} = 26$
  4. $S_{DAEC} = 104 - 26 = 78$

Ответ: 78

3. Как быстро запомнить формулы

ГруппаФигурыОбщая формула
Через основание и высоту Треугольник, параллелограмм, трапеция $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$ (для трапеции)
Через стороны Прямоугольник, квадрат $S = a \cdot b$
Через диагонали Ромб $S = \dfrac{d_1d_2}{2}$
Через радиус Круг $S = \pi R^2$

4. Типичные задания из ОГЭ

Пример 3 (задание №17 ОГЭ)

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке, если сторона равна 6, а высота равна 4.

  1. $S = a \cdot h = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24

Пример 4 (задание №23 ОГЭ)

Площадь параллелограмма ABCD равна 112. Точка E — середина стороны AB. Найдите площадь треугольника CBE.

  1. Диагональ AC делит параллелограмм: $S_{\triangle ABC} = 56$
  2. BE — медиана в △ABC: $S_{\triangle CBE} = \dfrac{1}{2} \cdot 56 = 28$

Ответ: 28

5. Шпаргалка по площадям

№ФигураФормула
1Треугольник$S = \dfrac{ah}{2}$
2Треугольник$S = \dfrac{ab\sin\gamma}{2}$
3Параллелограмм$S = ah$
4Ромб$S = \dfrac{d_1d_2}{2}$
5Прямоугольник$S = ab$
6Квадрат$S = a^2$
7Трапеция$S = \dfrac{(a+b)h}{2}$
8Круг$S = \pi R^2$
← 34. Прямоугольник. Квадрат. Трапеция