← Маршрут ОГЭ
Тема 36 из 72 · Геометрия

Фигуры на клетчатой плоскости

Формула Пика, площадь по координатам. Задание №18

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Формула Пика

Формула Пика — это быстрый способ вычисления площади фигур на клетчатой бумаге. Она работает для любых многоугольников, вершины которых находятся в узлах сетки.

Важно запомнить!

Формула Пика особенно полезна для фигур сложной формы, когда обычное разбиение на прямоугольники и треугольники занимает много времени.

1. Формула Пика

$$S = \frac{B}{2} + V - 1$$

где:

  • $B$ — число узлов сетки на границе фигуры (включая вершины)
  • $V$ — число узлов сетки внутри фигуры
Пример 1 (формула Пика)

На клетчатой бумаге нарисован многоугольник. На его границе 6 узловых точек, а внутри — 8. Найдите площадь.

  1. $B = 6$, $V = 8$
  2. $S = \dfrac{6}{2} + 8 - 1 = 3 + 8 - 1 = 10$

Ответ: 10

Пример 2 (применение формулы)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь, если на границе 8 узлов, а внутри — 9 узлов.

  1. $B = 8$, $V = 9$
  2. $S = \dfrac{8}{2} + 9 - 1 = 4 + 9 - 1 = 12$

Ответ: 12

2. Как считать узлы

Узлы на границе ($B$):

  • Все точки сетки, лежащие на сторонах многоугольника
  • Включая все вершины
  • Считаем каждую точку один раз

Узлы внутри ($V$):

  • Все точки сетки, лежащие строго внутри фигуры
  • Не считаем точки на сторонах
Совет!

Чтобы не ошибиться, обведите фигуру и отмечайте узлы точками. Сначала посчитайте все узлы на границе (обведите их), затем внутри (поставьте крестики).

3. Метод дополнения

Метод дополнения — это альтернативный способ нахождения площади фигуры на клетчатой бумаге.

$$S = S_{прямоугольника} - S_{лишних}$$

Алгоритм:

  1. Нарисовать минимальный прямоугольник вокруг фигуры
  2. Найти его площадь (стороны по линиям сетки)
  3. Вычислить площади всех «лишних» частей (обычно прямоугольные треугольники)
  4. Вычесть их из площади прямоугольника
Пример 3 (метод дополнения)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник с вершинами в узлах сетки. Найдите его площадь.

  1. Минимальный прямоугольник: 4×4 = 16 клеток
  2. Лишние треугольники: - Левый верхний: $\dfrac{2 \cdot 3}{2} = 3$ - Правый верхний: $\dfrac{2 \cdot 3}{2} = 3$ - Нижний: $\dfrac{4 \cdot 2}{2} = 4$
  3. $S = 16 - (3 + 3 + 4) = 16 - 10 = 6$

Ответ: 6

4. Длина отрезка на клетчатой плоскости

$$d = \sqrt{dx^2 + dy^2}$$

где $dx$ — разность координат по горизонтали, $dy$ — разность координат по вертикали.

Пример 4 (длина отрезка)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён отрезок, соединяющий точки (2; 1) и (5; 5). Найдите его длину.

  1. $dx = 5 - 2 = 3$, $dy = 5 - 1 = 4$
  2. $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Ответ: 5

5. Сравнение методов

МетодКогда использоватьПреимущества
Формула Пика Многоугольник сложной формы Быстро, только счёт точек
Метод дополнения Фигура с прямыми углами Надёжно, не требует счёта узлов
Разбиение на фигуры Простая форма Понятно, без формул

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 5 (задание №18 ОГЭ)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

  1. Считаем узлы: $B = 8$, $V = 9$
  2. $S = \dfrac{8}{2} + 9 - 1 = 4 + 9 - 1 = 12$

Ответ: 12

Пример 6 (задание №18 ОГЭ)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён четырёхугольник. Найдите его площадь.

  1. Используем метод дополнения
  2. Прямоугольник: 6×5 = 30
  3. Лишние части: 3 + 4 + 6 + 3 = 16
  4. $S = 30 - 16 = 14$

Ответ: 14

7. Частые ошибки

Ошибка 1: Неправильный счёт узлов

Не забывайте считать ВСЕ узлы на границе, включая вершины. И не считайте узлы на границе как внутренние.

Ошибка 2: Неправильное округление

Площадь по формуле Пика всегда получается целым числом или числом с .5. Если получилась другая дробь — пересчитайте узлы.

← 35. Площади многоугольников