← Маршрут ОГЭ
Тема 38 из 72 · Геометрия

Высказывания: треугольники

Типичные утверждения и их истинность. Задание №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Формат задания №19: треугольники

Задание №19 может содержать утверждения о треугольниках. Нужно выбрать верные и записать их номера.

Важно запомнить!

В задачах о треугольниках часто путают свойства медианы, биссектрисы и высоты. Помните: медиана делит сторону пополам, биссектриса делит угол пополам, высота — перпендикуляр к стороне.

1. Часто встречающиеся ВЕРНЫЕ утверждения о треугольниках

УтверждениеПочему верно
Сумма углов треугольника равна 180° Теорема о сумме углов треугольника
Сумма любых двух сторон треугольника больше третьей стороны Неравенство треугольника
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Свойство равнобедренного треугольника
Против большей стороны лежит больший угол (и наоборот) Соотношение сторон и углов
Медиана треугольника делит его площадь пополам Свойство медианы
Средняя линия треугольника равна половине стороны, к которой она параллельна Свойство средней линии

2. Часто встречающиеся НЕВЕРНЫЕ утверждения (ловушки)

ЛовушкаПочему неверноВерный вариант
«Если два угла треугольника равны, то он равносторонний» Из равенства двух углов следует только равнобедренность «Если два угла треугольника равны, то он равнобедренный»
«Если стороны равны 3 и 4, то третья равна 5» Третья сторона может быть любой от 1 до 7 (не включая границы) «Третья сторона должна быть от 1 до 7»
«Биссектриса делит противоположную сторону пополам» Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон «Медиана делит противоположную сторону пополам»
«Все высоты треугольника равны» Только в равностороннем треугольнике «В равностороннем треугольнике все высоты равны»
«Любая биссектриса является высотой» Только в равнобедренном треугольнике (к основанию) «В равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию является высотой»

3. Сравнение медианы, биссектрисы и высоты

ЭлементЧто делаетОсобенность
Медиана Делит сторону пополам Делит площадь на две равные части
Биссектриса Делит угол пополам Делит сторону в отношении прилежащих сторон
Высота Перпендикулярна стороне Может лежать вне треугольника (в тупоугольном)
Важно!

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Это часто используется в задачах!

4. Разбор типичных утверждений

Пример 1 (неравенство треугольника)

Стороны треугольника равны 3 и 4. Может ли третья сторона быть равна 8?

  1. По неравенству треугольника: $3 + 4 > x \Rightarrow x < 7$
  2. $3 + x > 4 \Rightarrow x > 1$
  3. $4 + x > 3$ — всегда верно
  4. Третья сторона должна быть в промежутке $(1; 7)$
  5. $8 > 7$, значит, такой треугольник не существует

Ответ: нет, не может

Пример 2 (биссектриса)

Верно ли утверждение: «Биссектриса треугольника всегда делит противоположную сторону пополам»?

  1. Биссектриса делит сторону в отношении прилежащих сторон
  2. Только в равнобедренном треугольнике (к основанию) она делит сторону пополам
  3. В общем случае это не так

Ответ: неверно

Пример 3 (соотношение углов и сторон)

В треугольнике углы равны 30°, 60°, 90°. Какая сторона наибольшая?

  1. Против большего угла лежит большая сторона
  2. Наибольший угол = 90°
  3. Наибольшая сторона — гипотенуза (против 90°)

Ответ: сторона против угла 90°

5. Типичные задания из ОГЭ

Пример 4 (задание №19 ОГЭ)

Какое из следующих утверждений верно?

  1. «Сумма углов любого треугольника равна 360°» — неверно (180°)
  2. «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны» — верно
  3. «Медиана треугольника делит угол пополам» — неверно (это биссектриса)

Ответ: 2

Пример 5 (задание №19 ОГЭ)

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. «Если два угла треугольника равны, то он равносторонний» — неверно (равнобедренный)
  2. «Сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны» — верно
  3. «Биссектриса треугольника делит противоположную сторону пополам» — неверно

Ответ: 2

6. Шпаргалка для задания №19 (треугольники)

ВСЕГДА верноЧАСТО неверно
Сумма углов треугольника = 180° Сумма углов треугольника = 360°
Неравенство треугольника: $a+b>c$ Если $a=3, b=4$, то $c=5$
В равнобедренном: углы при основании равны Равнобедренный ⇒ равносторонний
Медиана делит площадь пополам Медиана делит угол пополам
Средняя линия = половина стороны Средняя линия = сторона
Против большей стороны — больший угол Против большей стороны — меньший угол
← 37. Анализ геометрических высказываний: пря…