← Маршрут ОГЭ
Тема 39 из 72 · Геометрия

Высказывания: четырёхугольники и окружности

Типичные утверждения и их истинность. Задание №19

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Формат задания №19: четырёхугольники и окружности

Задание №19 часто содержит утверждения о четырёхугольниках и окружностях. Это самая коварная тема, так как многие свойства верны только в одну сторону.

Важно запомнить!

В заданиях о четырёхугольниках часто путают необходимые и достаточные условия. Признак фигуры требует выполнения ВСЕХ условий, а не одного.

1. Иерархия четырёхугольников

$$\text{Квадрат} \subset \text{Ромб} \subset \text{Параллелограмм}$$
$$\text{Квадрат} \subset \text{Прямоугольник} \subset \text{Параллелограмм}$$
ФигураОпределениеДополнительные свойства
Параллелограмм Противоположные стороны параллельны Противоположные стороны и углы равны
Прямоугольник Параллелограмм с прямыми углами Диагонали равны
Ромб Параллелограмм с равными сторонами Диагонали перпендикулярны
Квадрат Прямоугольник с равными сторонами = Ромб с прямыми углами Все свойства прямоугольника и ромба

2. Часто встречающиеся ВЕРНЫЕ утверждения о четырёхугольниках

УтверждениеПочему верно
Диагонали прямоугольника равны Свойство прямоугольника
Ромб является параллелограммом Ромб — частный случай параллелограмма
Квадрат является и ромбом, и прямоугольником Квадрат наследует свойства обеих фигур
Диагонали параллелограмма делятся пополам Свойство параллелограмма
Диагонали ромба перпендикулярны Свойство ромба

3. Часто встречающиеся НЕВЕРНЫЕ утверждения (ловушки)

ЛовушкаПочему неверноВерный вариант
«Если диагонали четырёхугольника равны, то это прямоугольник» Равные диагонали бывают у равнобокой трапеции «Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник»
«Если диагонали перпендикулярны, то это ромб» Нужно ещё, чтобы диагонали делились пополам «Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то это ромб»
«Любой параллелограмм является ромбом» Ромб — частный случай параллелограмма, а не наоборот «Любой ромб является параллелограммом»
«Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это квадрат» Это ромб, но не обязательно квадрат (нужны прямые углы) «Если в четырёхугольнике все стороны равны и все углы прямые, то это квадрат»

4. Верные утверждения об окружности

УтверждениеПочему верно
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания Свойство касательной
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны Свойство вписанных углов
Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° Следствие из теоремы о вписанном угле
Центральный угол равен дуге, на которую опирается Определение центрального угла

5. Неверные утверждения об окружности (ловушки)

ЛовушкаПочему неверноВерный вариант
«Вписанный угол равен центральному, опирающемуся на ту же дугу» Вписанный угол в 2 раза меньше центрального «Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу»
«Все хорды окружности равны» Равны только диаметры «Все диаметры окружности равны»

6. Разбор типичных утверждений

Пример 1 (прямоугольник)

Верно ли, что если в четырёхугольнике диагонали равны, то он обязательно прямоугольник?

  1. Контрпример: равнобокая трапеция имеет равные диагонали
  2. Равнобокая трапеция не является прямоугольником
  3. Утверждение неверно

Ответ: неверно

Пример 2 (ромб)

Верно ли, что если диагонали четырёхугольника перпендикулярны и делятся пополам, то это ромб?

  1. Диагонали делятся пополам → параллелограмм
  2. Диагонали перпендикулярны → ромб
  3. Утверждение верно

Ответ: верно

Пример 3 (вписанный угол)

Верно ли, что вписанный угол всегда равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу?

  1. Это теорема о вписанном угле
  2. Утверждение верно

Ответ: верно

7. Типичные задания из ОГЭ

Пример 4 (задание №19 ОГЭ)

Какое из следующих утверждений верно?

  1. «Диагонали прямоугольника равны» — верно
  2. «Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то это ромб» — неверно (нужно ещё деление пополам)
  3. «Касательная к окружности параллельна радиусу» — неверно (перпендикулярна)

Ответ: 1

Пример 5 (задание №19 ОГЭ)

Какое из следующих утверждений является истинным высказыванием?

  1. «Любой параллелограмм является ромбом» — неверно
  2. «Существует прямоугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны» — верно (это квадрат)
  3. «Вписанный угол равен центральному, опирающемуся на ту же дугу» — неверно

Ответ: 2

8. Шпаргалка для задания №19 (четырёхугольники и окружности)

ВСЕГДА верноЧАСТО неверно
Диагонали прямоугольника равны Равные диагонали → прямоугольник
Ромб — параллелограмм Параллелограмм — ромб
Квадрат — ромб и прямоугольник Все стороны равны → квадрат
Касательная ⟂ радиусу Касательная ∥ радиусу
Вписанный угол = ½ центрального Вписанный угол = центральному
Вписанные на одну дугу — равны Все вписанные углы равны
← 38. Высказывания: треугольники