Тема 40 из 72 · Геометрия

Пробник: геометрия первой части

Разбор заданий №15-19. Стратегия решения

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Пробник: геометрия первой части (задания 15–19)

Задания 15–19 — это геометрический блок первой части ОГЭ. Всего 5 заданий, на которые нужно потратить 12–15 минут.

Важно запомнить!

В заданиях 15–19 важно работать только с теми данными, которые даны в условии. Не додумывайте и не измеряйте по рисунку, если не сказано, что он в масштабе!

1. Структура заданий 15–19

Задание	Тема	Что нужно уметь
№15	Треугольники	Находить углы, стороны, площадь
№16	Окружность	Центральные и вписанные углы
№17	Четырёхугольники	Параллелограмм, ромб, трапеция
№18	Клетчатая бумага	Площадь, длина отрезка, углы
№19	Теоретические утверждения	Выбор верных утверждений

2. Чек-лист ключевых теорем и формул

Треугольники:

$$\text{Сумма углов треугольника} = 180°$$

$$\text{Внешний угол треугольника} = \text{сумма двух несмежных внутренних}$$

$$S_{\triangle} = \dfrac{ah}{2} = \dfrac{ab\sin\gamma}{2} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$\text{Средняя линия треугольника} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{параллельная сторона}$$

Прямоугольный треугольник:

$$c^2 = a^2 + b^2 \quad \text{(теорема Пифагора)}$$

$$\sin \alpha = \dfrac{\text{против}}{\text{гипот}}, \quad \cos \alpha = \dfrac{\text{прилеж}}{\text{гипот}}, \quad \operatorname{tg} \alpha = \dfrac{\text{против}}{\text{прилеж}}$$

Окружность:

$$\text{Вписанный угол} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{дуги}$$

$$\text{Центральный угол} = \text{дуга}$$

$$\text{Угол между касательной и хордой} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{дуги}$$

Четырёхугольники:

$$S_{парал} = ah, \quad S_{ромб} = \dfrac{d_1d_2}{2}, \quad S_{трап} = \dfrac{(a+b)h}{2}$$

$$\text{Сумма углов } n\text{-угольника} = 180°(n-2)$$

3. Задание №15 — треугольники

Типичные задачи:

Найти угол треугольника по двум известным
Найти сторону по теореме Пифагора
Найти площадь треугольника
Найти элемент по синусу/косинусу/тангенсу

Пример 1 (№15 ОГЭ)

В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin B = 3/14, AB = 56. Найдите AC.

∠C = 90° — треугольник прямоугольный
sin B = AC/AB (противолежащий катет к гипотенузе)
AC = AB · sin B = 56 · 3/14 = 12

Ответ: 12

Пример 2 (№15 ОГЭ)

Сторона треугольника равна 17, а высота, проведённая к этой стороне, равна 14. Найдите площадь.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 17 \cdot 14 = 119$

Ответ: 119

4. Задание №16 — окружность

Типичные задачи:

Найти вписанный угол по центральному
Найти угол, опирающийся на диаметр
Найти угол между касательной и хордой
Найти длину дуги

Пример 3 (№16 ОГЭ)

На окружности с центром в точке O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 21°. Длина меньшей дуги AB равна 35. Найдите длину большей дуги AB.

∠AOB = 21° — центральный угол
Меньшая дуга = 21°
Большая дуга = 360° - 21° = 339°
Длина большей дуги: $\dfrac{339}{21} \cdot 35 = 565$

Ответ: 565

5. Задание №17 — четырёхугольники

Типичные задачи:

Найти углы параллелограмма/ромба
Найти площадь параллелограмма/ромба/трапеции
Найти элементы по свойствам фигур

Пример 4 (№17 ОГЭ)

В ромбе ABCD угол ABC равен 124°. Найдите угол ACD.

∠ABC = ∠ADC = 124° (противоположные углы ромба)
∠BCD = 180° - 124° = 56° (соседние углы)
Диагональ AC — биссектриса ∠BCD
∠ACD = 56° / 2 = 28°

Ответ: 28°

6. Задание №18 — клетчатая бумага

Типичные задачи:

Найти площадь фигуры по формуле Пика
Найти длину отрезка по теореме Пифагора
Найти угол между отрезками

Пример 5 (№18 ОГЭ)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите его площадь.

Используем формулу Пика
Считаем узлы: $B = 8$, $V = 9$
$S = \dfrac{8}{2} + 9 - 1 = 4 + 9 - 1 = 12$

Ответ: 12

Пример 6 (№18 ОГЭ)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Средняя линия трапеции = полусумма оснований
Основания: 4 и 8 клеток
$l = \dfrac{4+8}{2} = 6$

Ответ: 6

7. Задание №19 — выбор верных утверждений

Типичные темы:

Свойства треугольников
Свойства четырёхугольников
Свойства окружности

Важно!

Утверждение верно, только если оно выполняется ДЛЯ ВСЕХ фигур данного вида. Если есть хоть один контрпример — утверждение неверно.

Пример 7 (№19 ОГЭ)

Какое из следующих утверждений верно?

«Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам» — верно
«Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена» — неверно (это медиана)
«Отношение площадей подобных треугольников равно коэффициенту подобия» — неверно (равно квадрату коэффициента)

Ответ: 1

8. Работа с чертежами

Алгоритм:

Внимательно рассмотреть рисунок
Отметить все данные (углы, стороны)
Вспомнить нужную теорему/формулу
Записать решение и ответ

Совет!

Если в условии сказано «рисунок не соответствует масштабу» — не измеряйте по рисунку! Используйте только числа из условия.

9. Распределение времени

Задание	Время	Примечание
№15	2–3 мин	Треугольники
№16	2–3 мин	Окружность
№17	2–3 мин	Четырёхугольники
№18	2–3 мин	Клетчатая бумага
№19	3–4 мин	Выбор утверждений
Итого	12–15 мин	На все 5 заданий

10. Частые ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Измерение по рисунку

Если рисунок не в масштабе — не измеряйте! Используйте только числа из условия.

Ошибка 2: Путаница теорем

Вписанный угол = ½ дуги, центральный угол = дуга. Не перепутайте!

Ошибка 3: Неполные условия для признаков

Для ромба нужны и перпендикулярность диагоналей, и деление пополам.

← 39. Высказывания: четырёхугольники и окружн… 41. Системы уравнений →