← Маршрут ОГЭ
Тема 41 из 72 · Алгебра

Системы уравнений

Метод подстановки и сложения. Задание №20

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Метод подстановки и метод сложения

Система уравнений — это два или более уравнения, которые нужно решить одновременно, то есть найти значения переменных, удовлетворяющие всем уравнениям.

Важно запомнить!

В задании №20 ОГЭ обычно нужно решить систему уравнений. Чаще всего это системы с двумя переменными, где одно уравнение линейное, а другое — квадратное.

1. Метод подстановки

Алгоритм:

  1. Выразить одну переменную через другую из более простого (обычно линейного) уравнения
  2. Подставить полученное выражение в другое уравнение
  3. Решить получившееся уравнение с одной переменной
  4. Найти вторую переменную
  5. Записать ответ в виде пар $(x, y)$
Пример 1 (метод подстановки)

Решите систему: $\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

  1. Из первого уравнения: $y = 5 - x$
  2. Подставляем во второе: $x(5-x) = 6$
  3. $5x - x^2 = 6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0$
  4. По теореме Виета: $x_1 = 2, x_2 = 3$
  5. Находим $y$: $y_1 = 5-2=3$, $y_2 = 5-3=2$
  6. Проверка: (2;3): $2+3=5$, $2\cdot3=6$ ✓; (3;2): $3+2=5$, $3\cdot2=6$ ✓

Ответ: $(2;3)$ и $(3;2)$

Пример 2 (линейное и квадратное)

Решите систему: $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ x^2 + y^2 = 10 \end{cases}$

  1. $y = 2x - 1$ уже выражено
  2. Подставляем: $x^2 + (2x-1)^2 = 10$
  3. $x^2 + 4x^2 - 4x + 1 = 10$
  4. $5x^2 - 4x - 9 = 0$
  5. $D = 16 + 180 = 196 = 14^2$
  6. $x_1 = \dfrac{4+14}{10} = \dfrac{18}{10} = 1,8$
  7. $x_2 = \dfrac{4-14}{10} = \dfrac{-10}{10} = -1$
  8. $y_1 = 2\cdot1,8 - 1 = 3,6 - 1 = 2,6$
  9. $y_2 = 2\cdot(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$

Ответ: $(1,8;2,6)$ и $(-1;-3)$

2. Метод сложения (алгебраического сложения)

Алгоритм:

  1. Умножить одно или оба уравнения на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными
  2. Сложить уравнения почленно — одна переменная исчезнет
  3. Решить получившееся уравнение
  4. Найти вторую переменную
  5. Записать ответ
Пример 3 (метод сложения)

Решите систему: $\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 3x - 3y = 3 \end{cases}$

  1. Коэффициенты при $y$: $3$ и $-3$ — уже противоположные
  2. Складываем уравнения: $(2x+3y)+(3x-3y) = 7+3$
  3. $5x = 10 \Rightarrow x = 2$
  4. Подставляем в первое: $2\cdot2 + 3y = 7$
  5. $4 + 3y = 7 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$
  6. Проверка: $2\cdot2+3\cdot1=7$ ✓, $3\cdot2-3\cdot1=3$ ✓

Ответ: $(2;1)$

Пример 4 (с умножением)

Решите систему: $\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ 5x - 4y = -2 \end{cases}$

  1. Умножаем первое уравнение на 2: $\begin{cases} 6x + 4y = 24 \\ 5x - 4y = -2 \end{cases}$
  2. Коэффициенты при $y$: $4$ и $-4$ — противоположные
  3. Складываем: $(6x+4y)+(5x-4y) = 24 + (-2)$
  4. $11x = 22 \Rightarrow x = 2$
  5. Подставляем в первое: $3\cdot2 + 2y = 12$
  6. $6 + 2y = 12 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3$

Ответ: $(2;3)$

3. Нелинейные системы

Алгоритм:

  1. Из линейного уравнения выразить одну переменную через другую
  2. Подставить в квадратное уравнение
  3. Получится обычное квадратное уравнение
  4. Найти корни и вторые переменные
Пример 5 (нелинейная система)

Решите систему: $\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\ xy = -16 \end{cases}$

  1. Из второго: $y = -\dfrac{16}{x}$ ($x \neq 0$)
  2. Подставляем: $x^2 + \dfrac{256}{x^2} = 68$
  3. Умножаем на $x^2$: $x^4 + 256 = 68x^2$
  4. $x^4 - 68x^2 + 256 = 0$
  5. Замена: $t = x^2 \Rightarrow t^2 - 68t + 256 = 0$
  6. $D = 4624 - 1024 = 3600 = 60^2$
  7. $t_1 = \dfrac{68+60}{2} = 64$, $t_2 = \dfrac{68-60}{2} = 4$
  8. $x = \pm 8$ или $x = \pm 2$
  9. Находим $y$: $(8;-2)$, $(-8;2)$, $(2;-8)$, $(-2;8)$

Ответ: $(8;-2)$, $(-8;2)$, $(2;-8)$, $(-2;8)$

4. Сравнение методов

МетодКогда использоватьПреимущества
Подстановка Одно уравнение легко выразить Универсальный
Сложение Коэффициенты при переменной противоположны или легко сделать Быстро, без дробей

5. Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Потеря корня

При делении на $x$ проверяйте, не равен ли $x$ нулю. Если да, это тоже корень!

Ошибка 2: Неправильная проверка

Всегда проверяйте корни подстановкой в ОБА уравнения, а не в одно.

Ошибка 3: Путаница порядка

Ответ записывают в виде $(x;y)$. Не перепутайте, где $x$, а где $y$.

6. Типичные задания из ОГЭ

Пример 6 (задание №20 ОГЭ)

Решите систему уравнений: $\begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases}$

  1. Складываем уравнения: $(x^2+y)+(2x^2-y) = 7+5$
  2. $3x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$
  3. При $x=2$: $4+y=7 \Rightarrow y=3$
  4. При $x=-2$: $4+y=7 \Rightarrow y=3$

Ответ: $(2;3)$ и $(-2;3)$

← 40. Пробник: геометрия первой части