← Маршрут ОГЭ
Тема 42 из 72 · Алгебра

Алгебраические выражения. Упрощение

Дроби, корни, степени. Задание №20

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Типы задач №20

Задание №20 — это задача на преобразование алгебраических выражений. Она может быть в одной из четырёх форм.

Важно запомнить!

В задании №20 главное — владеть формулами сокращённого умножения и уметь работать с дробями. Часто нужно привести выражение к простейшему виду.

1. Четыре типа заданий №20

ТипФормулировкаПример
Упрощение Упростите выражение $\dfrac{x^2-4}{x+2}$
Доказательство Докажите тождество $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$
Вычисление Найдите значение выражения при $x=$ $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ при $x=3$
Разложение Разложите на множители $x^2-5x+6$

2. Основные приёмы упрощения

Приём 1: Формулы сокращённого умножения (ФСУ)

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$
$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$$

Приём 2: Вынесение общего множителя

$$ab + ac = a(b+c)$$

Приём 3: Приведение дробей к общему знаменателю

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

Приём 4: Домножение на сопряжённое

Используется для избавления от корня в знаменателе.

$$\frac{1}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{a-b}$$

3. Тип 1: Упрощение выражения

Пример 1 (упрощение с ФСУ)

Упростите выражение: $\dfrac{x^2-4}{x+2}$

  1. Числитель раскладываем по формуле разности квадратов: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$
  2. $\dfrac{(x-2)(x+2)}{x+2} = x-2$ (при $x \neq -2$)

Ответ: $x-2$

Пример 2 (упрощение с дробями)

Упростите выражение: $\dfrac{2}{x-1} - \dfrac{3}{x+1}$

  1. Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$
  2. $\dfrac{2(x+1) - 3(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x+2-3x+3}{(x-1)(x+1)}$
  3. $\dfrac{-x+5}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{5-x}{x^2-1}$

Ответ: $\dfrac{5-x}{x^2-1}$

4. Тип 2: Доказательство тождества

Пример 3 (доказательство тождества)

Докажите, что $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

  1. Раскрываем левую часть: $(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)$
  2. Упрощаем: $a^2+2ab+b^2 - a^2 + 2ab - b^2$
  3. $4ab$ — что и требовалось доказать
Пример 4 (доказательство с дробями)

Докажите, что $\dfrac{1}{x-1} + \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x}{x^2-1}$

  1. Левая часть: $\dfrac{(x+1)+(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2x}{x^2-1}$
  2. Получили правую часть — тождество доказано

5. Тип 3: Вычисление значения выражения

Пример 5 (вычисление)

Найдите значение выражения $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ при $x=5$

  1. Упрощаем: $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1$ (при $x \neq 1$)
  2. Подставляем: $5+1 = 6$

Ответ: 6

Пример 6 (вычисление со степенями)

Найдите значение выражения $a^{-6} \cdot (a^5)^2$ при $a=5$

  1. Упрощаем: $a^{-6} \cdot a^{10} = a^{4}$
  2. Подставляем: $5^4 = 625$

Ответ: 625

6. Тип 4: Разложение на множители

Пример 7 (разложение на множители)

Разложите на множители: $x^2-5x+6$

  1. Ищем корни: $x_1=2, x_2=3$ (по теореме Виета)
  2. $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$

Ответ: $(x-2)(x-3)$

Пример 8 (разложение с вынесением)

Разложите на множители: $3x^2-12$

  1. Выносим общий множитель: $3(x^2-4)$
  2. Разность квадратов: $3(x-2)(x+2)$

Ответ: $3(x-2)(x+2)$

7. Домножение на сопряжённое

Пример 9 (избавление от корня)

Упростите выражение: $\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$

  1. Домножаем на сопряжённое: $\dfrac{1}{\sqrt{5}-2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+2}$
  2. В знаменателе: $(\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5-4=1$
  3. $\sqrt{5} + 2$

Ответ: $\sqrt{5}+2$

Пример 10 (сопряжённое с разностью)

Упростите выражение: $\dfrac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$

  1. Домножаем на сопряжённое: $\dfrac{3}{\sqrt{7}+\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{\sqrt{7}-\sqrt{3}}$
  2. $= \dfrac{3(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{7-3} = \dfrac{3(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$

Ответ: $\dfrac{3(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{4}$

8. Сводная таблица приёмов

ПриёмКогда использоватьПример
ФСУ Квадраты, разность квадратов, кубы $(a+b)^2$, $a^2-b^2$
Вынесение Общий множитель $ab+ac = a(b+c)$
Общий знаменатель Дроби $\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}$
Сопряжённое Корни в знаменателе $\dfrac{1}{\sqrt{a}-b}$
← 41. Системы уравнений