Тема 43 из 72 · Алгебра

Неравенства и уравнения повышенной сложности

Задание №20: уравнения с модулем, параметром

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Уравнения с модулем и биквадратные уравнения

Уравнения с модулем и биквадратные уравнения — это специальные типы уравнений, которые часто встречаются в задании №9 ОГЭ.

Важно запомнить!

Модуль числа — это расстояние от нуля, поэтому он всегда неотрицательный. Биквадратное уравнение сводится к квадратному заменой переменной.

1. Уравнения с модулем

Модуль числа $|a|$ — это расстояние от точки $a$ до нуля на числовой прямой.

$$|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$$

Основные свойства модуля:

$|x| \ge 0$ для любого $x$
$|x| = 0 \iff x = 0$
$|x| = a$ при $a > 0 \iff x = a$ или $x = -a$
$|x| = a$ при $a = 0 \iff x = 0$
$|x| = a$ при $a < 0$ — решений нет

Уравнения вида $|f(x)| = a$:

$$|f(x)| = a \quad (a > 0) \iff f(x) = a \quad \text{или} \quad f(x) = -a$$

Пример 1 (уравнение с модулем)

Решите уравнение: $|x - 3| = 5$

$|x-3| = 5 \Rightarrow x-3 = 5$ или $x-3 = -5$
$x = 8$ или $x = -2$
Проверка: $|8-3| = 5$ ✓, $|-2-3| = 5$ ✓

Ответ: $x = -2$ или $x = 8$

Пример 2 (уравнение с модулем, нет решений)

Решите уравнение: $|2x + 1| = -3$

Модуль всегда $\ge 0$, а $-3 < 0$
Уравнение не имеет решений

Ответ: решений нет

Уравнения вида $|f(x)| = g(x)$:

Алгоритм:

Найти ОДЗ: $g(x) \ge 0$ (так как модуль неотрицателен)
$f(x) = g(x)$ или $f(x) = -g(x)$
Проверить корни по ОДЗ

Пример 3 (уравнение с модулем и выражением)

Решите уравнение: $|2x - 1| = x + 2$

ОДЗ: $x + 2 \ge 0 \Rightarrow x \ge -2$
$2x - 1 = x + 2$ или $2x - 1 = -(x + 2)$
$2x - x = 2 + 1 \Rightarrow x = 3$ — подходит
$2x - 1 = -x - 2 \Rightarrow 3x = -1 \Rightarrow x = -\dfrac{1}{3}$ — подходит

Ответ: $x = -\dfrac{1}{3}$ или $x = 3$

Неравенства с модулем:

$$|f(x)| < a \iff -a < f(x) < a$$

$$|f(x)| > a \iff f(x) > a \quad \text{или} \quad f(x) < -a$$

Пример 4 (неравенство с модулем)

Решите неравенство: $|x - 2| < 3$

$-3 < x - 2 < 3$
$-3 + 2 < x < 3 + 2$
$-1 < x < 5$

Ответ: $x \in (-1; 5)$

2. Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$.

Метод решения: замена $t = x^2$, $t \ge 0$

Пример 5 (биквадратное уравнение)

Решите уравнение: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Замена: $t = x^2$, $t \ge 0$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
По теореме Виета: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$
Оба корня $\ge 0$, подходят
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Ответ: $x = \pm 1, \pm 2$

Пример 6 (биквадратное уравнение, часть корней отбрасываем)

Решите уравнение: $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$

Замена: $t = x^2$, $t \ge 0$
$t^2 - 2t - 3 = 0$
$D = 4 + 12 = 16$
$t_1 = \dfrac{2+4}{2} = 3$, $t_2 = \dfrac{2-4}{2} = -1$
$t_2 = -1 < 0$ — отбрасываем
$x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}$

Ответ: $x = \pm \sqrt{3}$

Пример 7 (биквадратное уравнение с ОДЗ)

Решите уравнение: $\dfrac{x^2}{x^2-4} + \dfrac{4}{x^2-4} = \dfrac{5}{x^2-4}$

ОДЗ: $x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2$
Умножаем на $(x^2-4)$: $x^2 + 4 = 5$
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
Проверка по ОДЗ: $\pm 1 \neq \pm 2$ ✓

Ответ: $x = \pm 1$

3. Сводная таблица

Тип уравнения	Вид	Метод решения
Модуль = число	$\|f(x)\| = a$	$f(x) = \pm a$
Модуль = выражение	$\|f(x)\| = g(x)$	$f(x) = \pm g(x)$, ОДЗ: $g(x) \ge 0$
Биквадратное	$ax^4 + bx^2 + c = 0$	$t = x^2$, $t \ge 0$

4. Типичные ошибки и как их избежать

Ошибка 1: Забывают про ОДЗ в уравнении с модулем

При решении $|f(x)| = g(x)$ всегда проверяйте $g(x) \ge 0$.

Ошибка 2: Отбрасывают отрицательные корни в биквадратном уравнении

В биквадратном уравнении $t = x^2 \ge 0$, поэтому корни $t < 0$ отбрасываем.

Ошибка 3: Забывают про два корня при $x^2 = a$

$x^2 = a \Rightarrow x = \pm \sqrt{a}$ (при $a > 0$). Не забывайте про знак $\pm$!

← 42. Алгебраические выражения. Упрощение 44. Текстовые задачи: движение по воде →