← Маршрут ОГЭ
Тема 44 из 72 · Алгебра

Текстовые задачи: движение по воде

По и против течения. Задание №21

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Движение по воде: формулы скоростей

Задачи на движение по воде — один из самых частых типов задач в ОГЭ. Главное — правильно определить скорости движения.

Важно запомнить!

В задачах на движение по воде всегда три скорости: собственная (в стоячей воде), скорость течения и итоговая (по течению или против).

1. Формулы скоростей

$$v_{\text{по теч.}} = v_{\text{собств.}} + v_{\text{теч.}}$$
$$v_{\text{против теч.}} = v_{\text{собств.}} - v_{\text{теч.}}$$
$$v_{\text{собств.}} = \frac{v_{\text{по теч.}} + v_{\text{против теч.}}}{2}$$
$$v_{\text{теч.}} = \frac{v_{\text{по теч.}} - v_{\text{против теч.}}}{2}$$

Важно! Все скорости должны быть выражены в одинаковых единицах (км/ч или м/с).

Пример 1 (нахождение скорости течения)

Катер по течению реки идёт со скоростью 18 км/ч, а против течения — 12 км/ч. Найдите скорость течения и собственную скорость катера.

  1. $v_{\text{теч.}} = \dfrac{18 - 12}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ км/ч
  2. $v_{\text{собств.}} = \dfrac{18 + 12}{2} = \dfrac{30}{2} = 15$ км/ч
  3. Проверка: $15 + 3 = 18$ ✓, $15 - 3 = 12$ ✓

Ответ: скорость течения 3 км/ч, собственная скорость 15 км/ч

2. Особые случаи

Плот и бревно:

Плот или бревно не имеют собственной скорости — они движутся только со скоростью течения.

$$v_{\text{плота}} = v_{\text{теч.}}$$

Стоячая вода:

Если в задаче сказано «в стоячей воде» или «в озере», то скорость течения равна нулю.

Пример 2 (плот и лодка)

Плот проплыл по течению реки 12 км за 6 часов. Найдите скорость течения.

  1. Скорость плота равна скорости течения
  2. $v_{\text{плота}} = \dfrac{12}{6} = 2$ км/ч
  3. Скорость течения = 2 км/ч

Ответ: 2 км/ч

3. Алгоритм решения задач на движение по воде

  1. Обозначить неизвестную скорость (обычно собственную скорость лодки) через $x$
  2. Заполнить таблицу «скорость — время — путь» ($v$, $t$, $S$) для каждого этапа
  3. Составить уравнение (используя условие задачи)
  4. Решить уравнение
  5. Проверить корень по смыслу ($v_{\text{собств.}} > v_{\text{теч.}}$)
Пример 3 (составление уравнения)

Катер проходит 24 км по течению и 24 км против течения за 5 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

  1. Пусть $x$ — собственная скорость катера (км/ч)
  2. Таблица: | | $v$ | $t$ | $S$ | |---|---|---|---| | По течению | $x+2$ | $\dfrac{24}{x+2}$ | 24 | | Против течения | $x-2$ | $\dfrac{24}{x-2}$ | 24 |
  3. Уравнение: $\dfrac{24}{x+2} + \dfrac{24}{x-2} = 5$
  4. $24(x-2) + 24(x+2) = 5(x+2)(x-2)$
  5. $24x - 48 + 24x + 48 = 5(x^2 - 4)$
  6. $48x = 5x^2 - 20$
  7. $5x^2 - 48x - 20 = 0$
  8. $D = 2304 + 400 = 2704 = 52^2$
  9. $x = \dfrac{48 \pm 52}{10}$: $x_1 = 10$, $x_2 = -0,4$ (не подходит)

Ответ: 10 км/ч

4. Примеры из ОГЭ

Пример 4 (задание №21 ОГЭ)

Моторная лодка прошла против течения реки 105 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

  1. Пусть $x$ — скорость лодки в неподвижной воде (км/ч)
  2. По течению: $x+3$, против: $x-3$
  3. Таблица: | | $v$ | $t$ | $S$ | |---|---|---|---| | Против течения | $x-3$ | $\dfrac{105}{x-3}$ | 105 | | По течению | $x+3$ | $\dfrac{105}{x+3}$ | 105 |
  4. Уравнение: $\dfrac{105}{x-3} - \dfrac{105}{x+3} = 2$
  5. $105(x+3) - 105(x-3) = 2(x-3)(x+3)$
  6. $105x + 315 - 105x + 315 = 2(x^2 - 9)$
  7. $630 = 2x^2 - 18$
  8. $2x^2 = 648 \Rightarrow x^2 = 324 \Rightarrow x = 18$

Ответ: 18 км/ч

Пример 5 (задание №21 ОГЭ)

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 240 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 22 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 32 часа после отплытия из него.

  1. Пусть $x$ — скорость течения (км/ч)
  2. По течению: $22+x$, против: $22-x$
  3. Время в пути: $32 - 10 = 22$ часа
  4. Уравнение: $\dfrac{240}{22+x} + \dfrac{240}{22-x} = 22$
  5. $240(22-x) + 240(22+x) = 22(22+x)(22-x)$
  6. $5280 - 240x + 5280 + 240x = 22(484 - x^2)$
  7. $10560 = 10648 - 22x^2$
  8. $22x^2 = 88 \Rightarrow x = 2$

Ответ: 2 км/ч

5. Сводная таблица

ВеличинаОбозначениеФормула
Скорость по течению $v_{\text{по}}$ $v_{\text{собств.}} + v_{\text{теч.}}$
Скорость против течения $v_{\text{против}}$ $v_{\text{собств.}} - v_{\text{теч.}}$
Собственная скорость $v_{\text{собств.}}$ $\dfrac{v_{\text{по}} + v_{\text{против}}}{2}$
Скорость течения $v_{\text{теч.}}$ $\dfrac{v_{\text{по}} - v_{\text{против}}}{2}$
Время $t$ $\dfrac{S}{v}$

6. Типичные ошибки

Ошибка 1: Неправильные знаки

По течению скорость СКЛАДЫВАЕТСЯ, против — ВЫЧИТАЕТСЯ. Не путайте!

Ошибка 2: Забывают про стоянку

Если в задаче есть стоянка, её время нужно вычесть из общего времени.

Ошибка 3: Скорость плота

Плот не имеет собственной скорости, его скорость равна скорости течения.

← 43. Неравенства и уравнения повышенной слож…