Текстовые задачи: работа, проценты, числа

Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?

1. Производительность первого: $\dfrac{1}{6}$ работы в час
2. Производительность второго: $\dfrac{1}{12}$ работы в час
3. Совместная производительность: $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{2}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$
4. Время: $t = \dfrac{1}{1/4} = 4$ часа

Ответ: 4 часа

Первая труба наполняет бассейн за 4 часа, вторая — за 6 часов. За сколько часов наполнится бассейн, если открыть обе трубы одновременно?

1. Производительность первой: $\dfrac{1}{4}$
2. Производительность второй: $\dfrac{1}{6}$
3. Совместная: $\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}$
4. $t = \dfrac{1}{5/12} = \dfrac{12}{5} = 2,4$ часа = 2 часа 24 минуты

Ответ: 2,4 часа (2 часа 24 минуты)

Первая труба наполняет бассейн на 2 часа быстрее, чем вторая. Вместе они наполняют бассейн за 2 часа 24 минуты. За сколько часов наполняет бассейн первая труба?

1. Пусть $x$ — время первой трубы (часов)
2. Тогда время второй: $x + 2$ часа
3. Производительность первой: $\dfrac{1}{x}$, второй: $\dfrac{1}{x+2}$
4. Совместное время: 2 ч 24 мин = 2,4 часа
5. Уравнение: $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{2,4} = \dfrac{5}{12}$
6. $\dfrac{x+2+x}{x(x+2)} = \dfrac{5}{12}$
7. $\dfrac{2x+2}{x^2+2x} = \dfrac{5}{12}$
8. $12(2x+2) = 5(x^2+2x)$
9. $24x+24 = 5x^2+10x$
10. $5x^2 - 14x - 24 = 0$
11. $D = 196 + 480 = 676 = 26^2$
12. $x = \dfrac{14+26}{10} = 4$ (второй корень отрицательный)

Ответ: 4 часа

Первый рабочий за час делает на 6 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 80 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

1. Пусть $x$ — количество деталей, которое делает второй рабочий за час
2. Тогда первый делает $x+6$ деталей в час
3. Время второго: $\dfrac{80}{x}$ ч, первого: $\dfrac{80}{x+6}$ ч
4. Уравнение: $\dfrac{80}{x} - \dfrac{80}{x+6} = 3$
5. $80(x+6) - 80x = 3x(x+6)$
6. $80x + 480 - 80x = 3x^2 + 18x$
7. $3x^2 + 18x - 480 = 0$
8. $x^2 + 6x - 160 = 0$
9. $D = 36 + 640 = 676 = 26^2$
10. $x = \dfrac{-6+26}{2} = 10$
11. Первый делает: $10 + 6 = 16$ деталей в час

Ответ: 16 деталей в час

Сумма цифр двузначного числа равна 9. Если цифры переставить местами, получится число, которое на 27 больше исходного. Найдите исходное число.

1. Пусть цифры: $a$ — десятки, $b$ — единицы
2. Исходное число: $10a + b$
3. Сумма цифр: $a + b = 9$
4. После перестановки: $10b + a$
5. Уравнение: $10b + a = 10a + b + 27$
6. $10b + a - 10a - b = 27$
7. $9b - 9a = 27 \Rightarrow b - a = 3$
8. Система: $\begin{cases} a+b=9 \\ b-a=3 \end{cases}$
9. Складываем: $2b = 12 \Rightarrow b=6$
10. $a = 9 - 6 = 3$
11. Число: 36
12. Проверка: 36 + 27 = 63 ✓

Ответ: 36

Цена товара сначала увеличилась на 20%, а затем уменьшилась на 20%. Как изменилась цена?

1. Было: 100%
2. После увеличения: $100\% \cdot 1,2 = 120\%$
3. После уменьшения: $120\% \cdot 0,8 = 96\%$
4. Цена уменьшилась на 4%

Ответ: уменьшилась на 4%