Тема 46 из 72 · Функции

Графики функций с параметрами

Кусочные функции, модуль, пересечения. Задание №22

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Задание №22: что нужно уметь

Задание №22 — это задача на построение графика функции и исследование количества пересечений с горизонтальной прямой.

Важно запомнить!

В задании №22 нужно не просто построить график, но и определить, при каких значениях параметра прямая пересекает график в заданном количестве точек.

1. Типичная формулировка

Общий вид:

$$\text{Постройте график функции } y = f(x) \text{ и определите, при каких значениях } m \text{ прямая } y = m \text{ имеет с графиком ровно } k \text{ общих точек.}$$

Что нужно уметь:

Строить графики элементарных функций
Строить графики с модулем
Строить кусочные функции
Анализировать количество пересечений

2. Графики с модулем

Правило построения $y = |f(x)|$:

Построить график $y = f(x)$
Часть графика ниже оси $Ox$ отразить зеркально вверх

Пример 1 (график с модулем)

Постройте график функции $y = |x^2 - 1|$

Строим параболу $y = x^2 - 1$ (вершина в (0;-1), корни в ±1)
Часть ниже оси Ox (между -1 и 1) отражаем вверх
Получаем «двугорбую» кривую: - Вершины в точках (±1; 0) - Максимум в точке (0; 1)

Пример 2 (анализ пересечений)

При каких значениях $c$ прямая $y = c$ пересекает график функции $y = |x^2 - 1|$ ровно в 4 точках?

График имеет вид «двугорбой» кривой
При $c = 0$: 2 точки пересечения
При $0 < c < 1$: 4 точки пересечения
При $c = 1$: 3 точки пересечения
При $c > 1$: 2 точки пересечения

Ответ: $0 < c < 1$

3. Кусочные функции

Правило построения:

На каждом промежутке строим соответствующую функцию
Проверяем стыковку на границах промежутков
Обращаем внимание на точки разрыва

Пример 3 (кусочная функция)

Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 0 \\ x & \text{при } x > 0 \end{cases}$

При $x \le 0$: парабола $y = x^2$ (левая ветвь)
При $x > 0$: прямая $y = x$
В точке $x = 0$: $y = 0$ (оба куска дают 0)
График непрерывен в точке 0

Пример 4 (кусочная функция с разрывом)

Постройте график функции $y = \begin{cases} 2 & \text{при } x < 1 \\ x^2 & \text{при } x \ge 1 \end{cases}$

При $x < 1$: горизонтальная прямая $y = 2$
При $x \ge 1$: парабола $y = x^2$
В точке $x = 1$: левый кусок даёт $y = 2$, правый — $y = 1$
Точка разрыва в (1; 2)

4. Анализ количества пересечений

Алгоритм:

Построить график функции
Определить все характерные точки (вершины, точки разрыва)
«Двигая» горизонтальную прямую $y = m$, считать количество точек пересечения
Записать ответ в виде промежутков

Пример 5 (анализ пересечений)

Постройте график функции $y = x^2 - 2|x| - 3$ и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Раскрываем модуль: - При $x \ge 0$: $y = x^2 - 2x - 3$ (парабола, ветви вверх) - При $x < 0$: $y = x^2 + 2x - 3$ (парабола, ветви вверх)
Вершины: - Правая ветвь: $(1; -4)$ - Левая ветвь: $(-1; -4)$
Точка стыка: $(0; -3)$
Анализ пересечений: - $m < -4$: 0 точек - $m = -4$: 2 точки (по одной на каждой ветви) - $-4 < m < -3$: 4 точки - $m = -3$: 3 точки - $m > -3$: 2 точки

Ответ: $m = -4$ или $m > -3$

5. Сводная таблица

Тип функции	Как строить	Особенности
$y = \|f(x)\|$	Отразить часть ниже Ox	График всегда $\ge 0$
Кусочная	По частям на промежутках	Точки разрыва
$y = f(\|x\|)$	Строить при $x \ge 0$, отразить	Симметрия относительно Oy

6. Частые ошибки

Ошибка 1: Неправильное отражение модуля

При построении $y = |f(x)|$ отражается ТОЛЬКО часть графика ниже Ox, а не весь график!

Ошибка 2: Неучёт точек разрыва

В кусочной функции обязательно проверяйте, как стыкуются куски на границах.

Ошибка 3: Путаница в подсчёте пересечений

При $y = c$ считайте КОЛИЧЕСТВО точек пересечения, а не промежутков.

← 45. Текстовые задачи: работа, проценты, чис… 47. Геометрические задачи на вычисление →