← Маршрут ОГЭ
Тема 47 из 72 · Геометрия

Геометрические задачи на вычисление

Задание №23: треугольники, окружности, четырёхугольники

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Геометрические задачи на вычисление

Задание №23 — это геометрическая задача на вычисление. Нужно найти числовое значение: сторону, угол, площадь, радиус и т.д.

Важно запомнить!

В задании №23 часто нужно скомбинировать несколько формул за 2–4 шага. Главное — увидеть цепочку: известное → промежуточное → искомое.

1. Общая стратегия решения

  1. Выписать все данные на чертеже (или сделать чертёж)
  2. Определить, что нужно найти
  3. Найти промежуточную величину, которая связывает данное с искомым
  4. Применить нужные формулы последовательно
  5. Проверить ответ на правдоподобие

2. Базовый набор формул

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma \quad \text{(теорема косинусов)}$$
$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R \quad \text{(теорема синусов)}$$
$$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma = \frac{1}{2}ah_a = rp = \frac{abc}{4R}$$
$$\text{Подобие: } \frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2} = k, \quad \frac{S_1}{S_2} = k^2$$
$$S_{\text{трап}} = \frac{a+b}{2}h, \quad l_{\text{ср}} = \frac{a+b}{2}$$

3. Типовые связки

Угол → площадь:

Зная две стороны и угол между ними, сразу находим площадь:

$$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$$
Пример 1 (угол → площадь)

В треугольнике ABC AB = 12, BC = 20, sin∠ABC = 5/8. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC$
  2. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 20 \cdot \dfrac{5}{8} = 75$

Ответ: 75

Площадь → высота:

Если площадь найдена, можно найти высоту:

$$h = \frac{2S}{a}$$
Пример 2 (площадь → высота)

Площадь треугольника равна 84, сторона равна 14. Найдите высоту, проведённую к этой стороне.

  1. $h = \dfrac{2S}{a} = \dfrac{2 \cdot 84}{14} = 12$

Ответ: 12

Подобие → отношение отрезков:

При параллельных прямых или общем угле ищем подобные треугольники.

Пример 3 (подобие → отрезки)

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. MN = 16, AC = 20, NC = 15. Найдите BN.

  1. △BMN ∼ △BAC (по двум углам)
  2. $\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BN}{BC}$
  3. $\dfrac{16}{20} = \dfrac{BN}{BN+15}$
  4. $\dfrac{4}{5} = \dfrac{BN}{BN+15} \Rightarrow 5BN = 4BN + 60 \Rightarrow BN = 60$

Ответ: 60

4. Дополнительные построения

Когда помогают:

  • Провести высоту — получить прямоугольные треугольники
  • Провести диагональ — разбить четырёхугольник на треугольники
  • Провести радиус в точку касания — получить прямой угол
Пример 4 (дополнительное построение)

В окружности с центром O проведена хорда AB = 16. Расстояние от центра до хорды равно 6. Найдите радиус окружности.

  1. Проводим перпендикуляр из центра к хорде (делит хорду пополам)
  2. AM = MB = 8
  3. △OMA — прямоугольный: $R^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
  4. $R = 10$

Ответ: 10

5. Комбинирование формул

Пример 5 (комбинация формул)

В треугольнике ABC угол C = 90°, AC = 24, BC = 10. Найдите радиус описанной окружности и площадь.

  1. $AB = \sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$
  2. $S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 10 = 120$
  3. $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$

Ответ: $R = 13$, $S = 120$

Пример 6 (комбинация с теоремой синусов)

В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 12√6. Найдите AC.

  1. По теореме синусов: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$
  2. $\dfrac{12\sqrt{6}}{\sin 45°} = \dfrac{AC}{\sin 60°}$
  3. $\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
  4. $AC = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sin 60°}{\sin 45°} = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2} = 12\sqrt{6} \cdot \sqrt{\dfrac{3}{2}} = 12 \cdot 3 = 36$

Ответ: 36

6. Проверка ответа

Что проверять:

  • Сторона не может быть отрицательной
  • Сторона треугольника меньше суммы двух других
  • Угол от 0° до 180°
  • Площадь положительна
  • Реалистичность числа

7. Сводная таблица

Что известноЧто можно найтиФормулы
Две стороны и угол Площадь $S = \dfrac{1}{2}ab\sin\gamma$
Площадь и сторона Высота $h = \dfrac{2S}{a}$
Подобие Отрезки $\dfrac{a_1}{a_2} = k$
Прямоугольный треугольник Гипотенуза $c^2 = a^2 + b^2$
Теорема синусов Сторона или угол $\dfrac{a}{\sin\alpha} = 2R$
Теорема косинусов Сторона или угол $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$
← 46. Графики функций с параметрами