← Маршрут ОГЭ
Тема 57 из 72 · Алгебра

Марафон: числа, дроби, степени (№6, №8)

Быстрое повторение вычислительных навыков

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: числа, дроби, степени (№6, №8)

Задания №6 и №8 — это задачи на вычисления и сравнение чисел. Они проверяют умение работать с дробями, степенями, корнями и координатной прямой.

Важно запомнить!

В заданиях №6 и №8 главное — внимательность и знание основных свойств степеней и корней. Ошибка в знаке или порядке действий часто стоит балла.

1. Задание №6 — вычисления

Свойства степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
$$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$
$$(a^m)^n = a^{mn}$$
$$a^0 = 1 \quad (a \neq 0)$$
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$

Свойства корней:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$
$$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$$
$$(\sqrt{a})^2 = a \quad (a \ge 0)$$
$$\sqrt{a^2} = |a|$$

Действия с дробями:

$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$$
Пример 1 (степени)

Вычислите: $\dfrac{2^{-3} \cdot 2^7}{2^2}$

  1. В числителе: $2^{-3} \cdot 2^7 = 2^{-3+7} = 2^4 = 16$
  2. $\dfrac{16}{2^2} = \dfrac{16}{4} = 4$

Ответ: 4

Пример 2 (корни)

Вычислите: $\sqrt{12} + \sqrt{27}$

  1. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$
  2. $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$
  3. $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

Ответ: $5\sqrt{3}$

Пример 3 (дроби)

Вычислите: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{4}$

  1. Сначала умножение: $\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}$
  2. Сложение: $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{16}{24} + \dfrac{3}{24} = \dfrac{19}{24}$

Ответ: $\dfrac{19}{24}$

Пример 4 (степени и корни)

Вычислите: $\sqrt{2^4 \cdot 81}$

  1. $2^4 = 16$
  2. $16 \cdot 81 = 1296$
  3. $\sqrt{1296} = 36$

Ответ: 36

2. Задание №8 — сравнение чисел

Методы сравнения:

  1. Корни: возвести обе части в квадрат (если числа неотрицательны)
  2. Дроби: привести к общему знаменателю
  3. Оценка: найти ближайшие целые
  4. Отрицательные: чем больше модуль, тем меньше число
Пример 5 (сравнение корней)

Сравните $\sqrt{28}$ и $5,3$.

  1. $5,3^2 = 28,09$
  2. $28 < 28,09$
  3. $\sqrt{28} < 5,3$

Ответ: $\sqrt{28} < 5,3$

Пример 6 (сравнение дробей)

Сравните $\dfrac{3}{4}$ и $\dfrac{5}{6}$.

  1. Общий знаменатель: 12
  2. $\dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12}$, $\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}$
  3. $9 < 10$, значит $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

Ответ: $\dfrac{3}{4} < \dfrac{5}{6}$

Пример 7 (координатная прямая)

Между какими числами находится $\sqrt{50}$?

  1. $7^2 = 49$, $8^2 = 64$
  2. $49 < 50 < 64$
  3. $7 < \sqrt{50} < 8$

Ответ: между 7 и 8

Пример 8 (сравнение с $\pi$)

Сравните $\sqrt{10}$ и $\pi$.

  1. $\sqrt{10} \approx 3,16$
  2. $\pi \approx 3,14$
  3. $\sqrt{10} > \pi$

Ответ: $\sqrt{10} > \pi$

3. Сводная таблица

ТипЧто делатьПример
Степени Складывать/вычитать показатели $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$
Корни Выносить полные квадраты $\sqrt{50} = 5\sqrt{2}$
Дроби Приводить к общему знаменателю $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}$
Сравнение Возводить в квадрат $\sqrt{5} < 2,3$

4. Частые ошибки

Ошибка 1: $\sqrt{a^2} = a$

Правильно: $\sqrt{a^2} = |a|$. Например, $\sqrt{(-3)^2} = 3$.

Ошибка 2: Сравнение дробей «на глаз»

Всегда приводите к общему знаменателю или десятичной дроби.

Ошибка 3: Порядок действий

Сначала степени и корни, потом умножение/деление, затем сложение/вычитание.

← 56. Пробник: вторая часть (задания №20-25)