Тема 58 из 72 · Алгебра

Марафон: уравнения и неравенства (№9, №13)

Все типы уравнений и неравенств ОГЭ

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: уравнения и неравенства (№9, №13)

Задание №9 — решить рациональное уравнение (в том числе дробно-рациональное).

Задание №13 — решить квадратное или рациональное неравенство методом интервалов.

Важно запомнить!

В заданиях №9 и №13 ключевые моменты: ОДЗ в уравнениях с дробями и метод интервалов в неравенствах. Ошибка в этих заданиях часто стоит балла.

1. Задание №9 — рациональные уравнения

Квадратные уравнения:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

$$D = b^2 - 4ac$$

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Дробно-рациональные уравнения:

Найти ОДЗ (знаменатель $\neq 0$)
Умножить обе части на общий знаменатель
Решить получившееся уравнение
Проверить корни по ОДЗ

Пример 1 (квадратное уравнение)

Решите уравнение: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$D = 25 - 24 = 1$
$x_1 = \dfrac{5+1}{2} = 3$, $x_2 = \dfrac{5-1}{2} = 2$
По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1 \cdot x_2 = 6$

Ответ: $x = 2$ или $x = 3$

Пример 2 (дробно-рациональное уравнение)

Решите уравнение: $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = 0$

ОДЗ: $x \neq 3$
Дробь равна 0, когда числитель равен 0: $x^2 - 9 = 0$
$x = \pm 3$
Проверка по ОДЗ: $x = 3$ не подходит

Ответ: $x = -3$

Пример 3 (сложение дробей)

Решите уравнение: $\dfrac{2}{x-1} + \dfrac{3}{x+1} = 1$

ОДЗ: $x \neq \pm 1$
Общий знаменатель: $(x-1)(x+1)$
$2(x+1) + 3(x-1) = (x-1)(x+1)$
$2x+2+3x-3 = x^2 - 1$
$5x-1 = x^2 - 1$
$x^2 - 5x = 0 \Rightarrow x(x-5) = 0$
$x = 0$ или $x = 5$
Проверка по ОДЗ: оба подходят

Ответ: $x = 0$ или $x = 5$

Пример 4 (биквадратное уравнение)

Решите уравнение: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$

Замена: $t = x^2$, $t \ge 0$
$t^2 - 5t + 4 = 0$
$t_1 = 1$, $t_2 = 4$
$x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$
$x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$

Ответ: $x = \pm 1, \pm 2$

2. Задание №13 — квадратные неравенства

Метод интервалов:

Перенести всё в одну сторону ($0$ справа)
Разложить на множители
Найти нули
Отметить на числовой прямой
Определить знаки
Выбрать нужные промежутки

Пример 5 (квадратное неравенство)

Решите неравенство: $x^2 - 5x + 6 \le 0$

Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$
Ветви параболы вверх ($a > 0$)
Между корнями: $-$ (отрицательно)
Нам нужно $\le 0$

Ответ: $x \in [2; 3]$

Пример 6 (строгое неравенство)

Решите неравенство: $(x+8)(x-5) > 0$

Нули: $x = -8$ и $x = 5$
Отмечаем на прямой: $-8$ и $5$
Знаки: $+$ на $(-\infty; -8)$ и $(5; +\infty)$
Нам нужно $> 0$

Ответ: $x \in (-\infty; -8) \cup (5; +\infty)$

Пример 7 (неравенство с отрицательным $a$)

Решите неравенство: $-x^2 + 5x - 6 > 0$

Умножаем на $-1$: $x^2 - 5x + 6 < 0$ (знак меняется!)
Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 3$
Между корнями: $-$ (отрицательно)
Нам нужно $< 0$

Ответ: $x \in (2; 3)$

Пример 8 (рациональное неравенство)

Решите неравенство: $\dfrac{x^2-4}{x-1} > 0$

Нули числителя: $x = \pm 2$
Нули знаменателя: $x = 1$ (выколотая точка)
Отмечаем: $-2$ (закрашена), $1$ (выколота), $2$ (закрашена)
Проверяем знаки
Нам нужно $> 0$

Ответ: $x \in (-2; 1) \cup (2; +\infty)$

3. Сводная таблица

Тип	Метод	Ключевой момент
Квадратное уравнение	Дискриминант или Виет	$D = b^2 - 4ac$
Дробно-рациональное	ОДЗ + умножение на знаменатель	Проверка корней
Биквадратное	Замена $t = x^2$	$t \ge 0$
Квадратное неравенство	Метод интервалов	Знак $a$
Рациональное неравенство	Метод интервалов	Нули знаменателя — выколотые

4. Частые ошибки

Ошибка 1: Забыли ОДЗ

В дробных уравнениях всегда проверяйте ОДЗ! Посторонние корни — частая ошибка.

Ошибка 2: Знак при умножении на $-1$

При умножении неравенства на отрицательное число знак меняется на противоположный.

Ошибка 3: Нули знаменателя

В рациональных неравенствах нули знаменателя всегда выколотые (не включаются).

← 57. Марафон: числа, дроби, степени (№6, №8) 59. Марафон: функции и графики (№11, №22) →