← Маршрут ОГЭ
Тема 59 из 72 · Функции

Марафон: функции и графики (№11, №22)

Все типы функций ОГЭ

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: функции и графики (№11, №22)

Задание №11 — определить свойства функции по формуле или графику.

Задание №22 — построить график функции и определить количество пересечений с прямой.

Важно запомнить!

В задании №11 нужно узнавать функции по их графикам. В задании №22 ключевой момент — анализ пересечений с горизонтальной прямой.

1. Задание №11 — свойства функций

Основные виды функций:

ФункцияФормулаГрафик
Линейная $y = kx + b$ Прямая
Квадратичная $y = ax^2 + bx + c$ Парабола
Обратная пропорциональность $y = \dfrac{k}{x}$ Гипербола
Корень $y = \sqrt{x}$ Ветвь параболы
Модуль $y = |x|$ V-образный
Пример 1 (определение функции по графику)

На рисунке изображён график функции. Какая это функция?

  1. График — парабола
  2. Ветви вверх → $a > 0$
  3. Вершина в точке $(2; -1)$

Ответ: $y = x^2 - 4x + 3$

Свойства функций:

СвойствоКак определить
Область определения Знаменатель $\neq 0$, подкоренное $\ge 0$
Чётность $f(-x) = f(x)$ — чётная; $f(-x) = -f(x)$ — нечётная
Монотонность По графику или производной
Нули Точки пересечения с $Ox$ ($y=0$)
Пример 2 (свойства функции)

Для функции $y = x^2 - 4x + 3$ найдите: а) вершину; б) нули; в) промежутки возрастания и убывания.

  1. Вершина: $x_0 = -\dfrac{-4}{2} = 2$, $y_0 = 4 - 8 + 3 = -1$
  2. Нули: $x^2 - 4x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = 1, x_2 = 3$
  3. $a > 0$ → ветви вверх, убывает при $x < 2$, возрастает при $x > 2$

Ответ: вершина $(2; -1)$, нули $(1; 0)$ и $(3; 0)$, убывает на $(-\infty; 2)$, возрастает на $(2; +\infty)$

2. Задание №22 — графики с параметром

Алгоритм:

  1. Раскрыть модуль (если есть)
  2. Построить график по частям
  3. Найти характерные точки
  4. Проанализировать пересечения с $y = m$
  5. Записать ответ
Пример 3 (график с модулем)

Постройте график функции $y = |x^2 - 1|$ и определите, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет ровно 4 общие точки.

  1. Строим параболу $y = x^2 - 1$
  2. Отражаем часть ниже $Ox$ вверх
  3. Получаем «двугорбую» кривую
  4. При $0 < m < 1$: 4 точки пересечения
  5. При $m = 0$: 2 точки
  6. При $m = 1$: 3 точки
  7. При $m > 1$: 2 точки

Ответ: $0 < m < 1$

Пример 4 (кусочная функция)

Постройте график функции $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 0 \\ x & \text{при } x > 0 \end{cases}$

  1. При $x \le 0$: парабола $y = x^2$
  2. При $x > 0$: прямая $y = x$
  3. В точке $x = 0$: $y = 0$
  4. График непрерывен
Пример 5 (анализ пересечений)

Постройте график функции $y = x^2 - 2|x| - 3$ и определите, при каких $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

  1. При $x \ge 0$: $y = x^2 - 2x - 3$ (вершина в $(1; -4)$)
  2. При $x < 0$: $y = x^2 + 2x - 3$ (вершина в $(-1; -4)$)
  3. Точка стыка: $(0; -3)$
  4. Анализ: - $m < -4$: 0 точек - $m = -4$: 2 точки - $-4 < m < -3$: 4 точки - $m = -3$: 3 точки - $m > -3$: 2 точки

Ответ: $m = -4$ или $m > -3$

3. Сводная таблица

Тип функцииФормулаКлючевые точки
Парабола $y = ax^2 + bx + c$ Вершина, нули
Гипербола $y = \dfrac{k}{x}$ Асимптоты
Модуль $y = |f(x)|$ Точки излома
Кусочная Разные формулы Точки стыка

4. Частые ошибки

Ошибка 1: Неправильное определение чётности

$f(-x) = f(x)$ — чётная; $f(-x) = -f(x)$ — нечётная. Не путайте!

Ошибка 2: Неучёт точек разрыва

В кусочных функциях проверяйте стыковку кусков на границах.

Ошибка 3: Путаница с количеством пересечений

Считайте КОЛИЧЕСТВО точек пересечения, а не промежутков.

← 58. Марафон: уравнения и неравенства (№9, №…