Тема 60 из 72 · Вероятность

Марафон: вероятность и прогрессии (№10, №14)

Быстрое повторение

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: вероятность и прогрессии (№10, №14)

Задание №10 — классическая вероятность события.

Задание №14 — арифметическая или геометрическая прогрессия.

Важно запомнить!

В задачах на вероятность важно правильно посчитать общее число исходов. В задачах на прогрессии — определить тип прогрессии и правильно применить формулы.

1. Задание №10 — вероятность

Основная формула:

$$P(A) = \frac{m}{n}$$

где $m$ — число благоприятных исходов, $n$ — общее число исходов.

Свойства вероятности:

$$0 \le P(A) \le 1$$

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

$$P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B) \quad \text{(несовместные)}$$

$$P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B) \quad \text{(независимые)}$$

Пример 1 (классическая вероятность)

В коробке 5 красных и 3 синих шара. Наугад берут один шар. Найдите вероятность того, что он синий.

Всего шаров: $n = 5 + 3 = 8$
Благоприятных (синих): $m = 3$
$P = \dfrac{3}{8} = 0,375$

Ответ: 0,375

Пример 2 (противоположное событие)

В среднем из 150 поступивших в продажу аккумуляторов 12 не заряжены. Найдите вероятность того, что случайно выбранный аккумулятор заряжен.

Всего: $n = 150$
Не заряжены: 12
$P(\text{не заряжен}) = \dfrac{12}{150} = 0,08$
$P(\text{заряжен}) = 1 - 0,08 = 0,92$

Ответ: 0,92

Пример 3 (несовместные события)

В урне 3 красных, 4 синих и 5 зелёных шаров. Найти вероятность того, что вынутый шар будет красным или синим.

Всего: $n = 3 + 4 + 5 = 12$
$P(\text{красный}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$
$P(\text{синий}) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$
События несовместны: $P = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{7}{12}$

Ответ: $\dfrac{7}{12}$

Пример 4 (независимые события)

Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет орёл.

$P(\text{орёл}) = \dfrac{1}{2}$
События независимы: $P = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Ответ: $\dfrac{1}{4}$

Пример 5 (сложное событие)

В группе 11 спортсменов из Норвегии, 6 из Австрии и 3 из Швеции. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из Норвегии.

Всего: $n = 11 + 6 + 3 = 20$
Из Норвегии: 11
$P(\text{из Норвегии}) = \dfrac{11}{20}$
$P(\text{не из Норвегии}) = 1 - \dfrac{11}{20} = \dfrac{9}{20} = 0,45$

Ответ: 0,45

2. Задание №14 — прогрессии

Арифметическая прогрессия:

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$

$$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$$

$$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$$

Геометрическая прогрессия:

$$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$

$$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \quad (q \neq 1)$$

$$S = \frac{b_1}{1 - q} \quad (|q| < 1)$$

Пример 6 (арифметическая прогрессия)

Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если $a_1 = 3$, $d = 4$.

$a_{10} = a_1 + 9d = 3 + 9 \cdot 4 = 3 + 36 = 39$
$S_{10} = \dfrac{3 + 39}{2} \cdot 10 = \dfrac{42}{2} \cdot 10 = 21 \cdot 10 = 210$

Ответ: 210

Пример 7 (геометрическая прогрессия)

Первый член геометрической прогрессии $b_1 = 3$, знаменатель $q = 2$. Найдите $b_5$ и $S_5$.

$b_5 = b_1 \cdot q^4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$
$S_5 = \dfrac{3(2^5 - 1)}{2 - 1} = 3(32 - 1) = 3 \cdot 31 = 93$

Ответ: $b_5 = 48$, $S_5 = 93$

Пример 8 (нахождение члена)

В арифметической прогрессии $a_1 = 2$, $a_4 = 11$. Найдите $a_{10}$.

$a_4 = a_1 + 3d \Rightarrow 11 = 2 + 3d \Rightarrow d = 3$
$a_{10} = a_1 + 9d = 2 + 9 \cdot 3 = 2 + 27 = 29$

Ответ: 29

Пример 9 (бесконечно убывающая прогрессия)

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: $1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{8}, \ldots$

$b_1 = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$
$|q| = \dfrac{1}{2} < 1$, значит прогрессия бесконечно убывающая
$S = \dfrac{b_1}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2$

Ответ: 2

3. Сводная таблица

Тип	Формулы	Ключевой момент
Вероятность	$P = \dfrac{m}{n}$	Считать все исходы
Арифметическая прогрессия	$a_n = a_1 + (n-1)d$	Найти $d$
Геометрическая прогрессия	$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$	Найти $q$

4. Частые ошибки

Ошибка 1: Неправильный подсчёт исходов

Внимательно считайте общее число исходов. Например, при двух бросках кубика $n = 36$.

Ошибка 2: Путаница прогрессий

Арифметическая — прибавляем $d$, геометрическая — умножаем на $q$.

Ошибка 3: Формула суммы

Для геометрической прогрессии $q \neq 1$. Для $|q| < 1$ используй $S = \dfrac{b_1}{1 - q}$.

← 59. Марафон: функции и графики (№11, №22) 61. Марафон: геометрия — треугольники (№15,… →