Тема 61 из 72 · Геометрия

Марафон: геометрия — треугольники (№15, №23)

Быстрое повторение всех формул

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: геометрия — треугольники (№15, №23)

Задание №15 — вычислительная задача по треугольнику (стороны, углы, площадь).

Задание №23 — задача повышенной сложности с комбинацией теорем.

Важно запомнить!

В задачах на треугольники ключевые формулы: теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов. В №23 часто нужно комбинировать несколько теорем.

1. Ключевые теоремы

Теорема Пифагора:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Только для прямоугольного треугольника!

Теорема косинусов:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$$

Для любого треугольника.

Теорема синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R$$

Сумма углов:

$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Пример 1 (теорема Пифагора, №15)

В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Найдите гипотенузу и площадь.

$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$
$S = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$

Ответ: гипотенуза = 10, площадь = 24

Пример 2 (теорема косинусов, №15)

В треугольнике ABC AB = 5, BC = 9, AC = 8. Найдите cos∠ABC.

По теореме косинусов: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle ABC$
$64 = 25 + 81 - 2 \cdot 5 \cdot 9 \cdot \cos\angle ABC$
$64 = 106 - 90 \cdot \cos\angle ABC$
$\cos\angle ABC = \dfrac{42}{90} = \dfrac{7}{15}$

Ответ: $\dfrac{7}{15}$

Пример 3 (теорема синусов, №15)

В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 60°, BC = 12√6. Найдите AC.

По теореме синусов: $\dfrac{BC}{\sin A} = \dfrac{AC}{\sin B}$
$\dfrac{12\sqrt{6}}{\sin 45°} = \dfrac{AC}{\sin 60°}$
$\sin 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$AC = 12\sqrt{6} \cdot \dfrac{\sin 60°}{\sin 45°} = 36$

Ответ: 36

2. Площадь треугольника

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$

$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \quad \text{(формула Герона)}$$

$$p = \frac{a+b+c}{2}$$

Пример 4 (площадь через основание и высоту, №15)

Сторона треугольника равна 15, а высота, проведённая к этой стороне, равна 22. Найдите площадь.

$S = \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 22 = 165$

Ответ: 165

Пример 5 (формула Герона, №15)

Стороны треугольника равны 13, 14, 15. Найдите площадь.

$p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$
$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$

Ответ: 84

3. Свойства прямоугольного треугольника

$$\sin\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\cos\alpha = \frac{\text{прилежащий}}{\text{гипотенуза}}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\text{противолежащий}}{\text{прилежащий}}$$

$$m = \frac{c}{2} \quad \text{(медиана к гипотенузе)}$$

$$h = \frac{ab}{c} \quad \text{(высота к гипотенузе)}$$

Пример 6 (прямоугольный треугольник, №15)

В треугольнике ABC угол C = 90°, sin B = 3/14, AB = 56. Найдите AC.

$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$
$\dfrac{3}{14} = \dfrac{AC}{56}$
$AC = \dfrac{3 \cdot 56}{14} = 12$

Ответ: 12

4. Признаки подобия треугольников

Признак	Что нужно
УУ	Два угла
СУС	Две стороны пропорциональны, угол между ними равен
ССС	Три стороны пропорциональны

$$\frac{S_1}{S_2} = k^2$$

5. Стратегия для №23

Сделать аккуратный чертёж
Отметить все данные
Найти пару подобных или равных треугольников
Применить нужные теоремы
Вычислить ответ

Пример 7 (задание №23 ОГЭ)

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. MN = 16, AC = 20, NC = 15. Найдите BN.

△BMN ∼ △BAC (по двум углам)
$\dfrac{MN}{AC} = \dfrac{BN}{BC}$
$\dfrac{16}{20} = \dfrac{BN}{BN+15}$
$\dfrac{4}{5} = \dfrac{BN}{BN+15} \Rightarrow 5BN = 4BN + 60 \Rightarrow BN = 60$

Ответ: 60

6. Частые ошибки

Ошибка 1: Теорема Пифагора для любого треугольника

Теорема Пифагора работает ТОЛЬКО для прямоугольного треугольника!

Ошибка 2: Путаница синуса и косинуса

$\sin = \dfrac{\text{против}}{\text{гипот}}$, $\cos = \dfrac{\text{прилеж}}{\text{гипот}}$

← 60. Марафон: вероятность и прогрессии (№10,… 62. Марафон: геометрия — окружности, четырё… →