← Маршрут ОГЭ
Тема 62 из 72 · Геометрия

Марафон: геометрия — окружности, четырёхугольники (№16-17)

Быстрое повторение

ТГ-каналПодписывайся · там же запись на вводный урок t.me/algo_math ↗

Марафон: геометрия — окружности и четырёхугольники

В этом разделе собраны ключевые факты об окружностях (углы, касательные) и четырёхугольниках (площади, свойства).

Важно запомнить!

В задачах с окружностью чаще всего нужно найти угол. В задачах с четырёхугольниками — площадь или сторону.

1. Окружность: углы

Центральный угол:

$$\angle AOB = \smile AB$$

Центральный угол равен дуге, на которую опирается.

Вписанный угол:

$$\angle ACB = \frac{1}{2}\smile AB = \frac{1}{2}\angle AOB$$

Вписанный угол равен половине дуги (и половине центрального угла).

Пример 1 (вписанный угол)

Вписанный угол опирается на дугу 80°. Найдите этот угол.

  1. Вписанный угол = половина дуги
  2. $\angle = \dfrac{80°}{2} = 40°$

Ответ: 40°

Пример 2 (угол на диаметр)

В окружности AC — диаметр. Найдите ∠ABC.

  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
  2. $\angle ABC = 90°$

Ответ: 90°

Пример 3 (вписанные углы на одну дугу)

∠ABC = 35°. Найдите ∠ADC, если точки C и D лежат по одну сторону от хорды AB.

  1. ∠ABC и ∠ADC опираются на одну дугу AC
  2. Вписанные углы на одну дугу равны
  3. ∠ADC = 35°

Ответ: 35°

2. Касательная к окружности

$$OA \perp \ell \quad \text{в точке касания } A$$
$$MA = MB \quad \text{(касательные из одной точки)}$$
Пример 4 (касательная)

К окружности с центром O проведена касательная AB (B — точка касания). Найдите ∠ABO.

  1. Радиус OB перпендикулярен касательной AB
  2. ∠ABO = 90°

Ответ: 90°

Пример 5 (отрезки касательных)

Из точки A к окружности проведены две касательные AB и AC. AB = 7. Найдите AC.

  1. Отрезки касательных из одной точки равны
  2. AC = AB = 7

Ответ: 7

3. Четырёхугольники: площади

Параллелограмм:

$$S = a \cdot h$$

Противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся пополам.

Ромб:

$$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$

Все стороны равны, диагонали перпендикулярны.

Трапеция:

$$S = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$
$$m = \frac{a+b}{2} \quad \text{(средняя линия)}$$
Пример 6 (площадь параллелограмма)

Сторона параллелограмма равна 6, высота к ней — 4. Найдите площадь.

  1. $S = a \cdot h = 6 \cdot 4 = 24$

Ответ: 24

Пример 7 (площадь ромба)

Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{d_1 \cdot d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$

Ответ: 24

Пример 8 (площадь трапеции)

Основания трапеции равны 5 и 11, высота — 4. Найдите площадь.

  1. $S = \dfrac{(5+11) \cdot 4}{2} = \dfrac{16 \cdot 4}{2} = 32$

Ответ: 32

Пример 9 (средняя линия трапеции)

Основания трапеции равны 13 и 23. Найдите среднюю линию.

  1. $m = \dfrac{13+23}{2} = \dfrac{36}{2} = 18$

Ответ: 18

4. Сводная таблица

Фигура / ЭлементФормула
Вписанный угол $\angle = \dfrac{1}{2}\smile$
Центральный угол $\angle = \smile$
Угол на диаметр 90°
Касательная $\perp$ радиусу
Отрезки касательных $MA = MB$
Параллелограмм $S = ah$
Ромб $S = \dfrac{d_1d_2}{2}$
Трапеция $S = \dfrac{(a+b)h}{2}$
Средняя линия трапеции $m = \dfrac{a+b}{2}$

5. Частые ошибки

Ошибка 1: Путаница углов

Вписанный угол = половина дуги, центральный = дуга. Не путайте!

Ошибка 2: Диагонали ромба

Диагонали ромба перпендикулярны, но не равны. Равны диагонали у прямоугольника.

← 61. Марафон: геометрия — треугольники (№15,…